Номер 17, страница 12 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$S_1 = \frac{3}{4}S$ (три четверти пути)

$v_1 = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$S_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}S$ (оставшаяся часть пути)

$v_2 = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{600}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{50}{3} \text{ м/с}$

$v_2 = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{800}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{200}{9} \text{ м/с}$

Найти:

$\langle v \rangle$

Решение:

Средняя путевая скорость $\langle v \rangle$ определяется как отношение всего пройденного пути $S$ ко всему времени движения $t$.

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ равен $S$.

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времен, затраченных на прохождение каждого участка: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

Время движения на первом участке пути $S_1 = \frac{3}{4}S$ со скоростью $v_1$ равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\frac{3}{4}S}{v_1} = \frac{3S}{4v_1}$

Время движения на втором участке пути $S_2 = \frac{1}{4}S$ со скоростью $v_2$ равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{\frac{1}{4}S}{v_2} = \frac{S}{4v_2}$

Найдем общее время движения:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{3S}{4v_1} + \frac{S}{4v_2} = S \left( \frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} \right)$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{S}{S \left( \frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} \right)} = \frac{1}{\frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2}}$

Приведем знаменатель к общему виду:

$\frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} = \frac{3v_2 + v_1}{4v_1v_2}$

Тогда формула для средней скорости примет вид:

$\langle v \rangle = \frac{1}{\frac{3v_2 + v_1}{4v_1v_2}} = \frac{4v_1v_2}{v_1 + 3v_2}$

Подставим числовые значения скоростей в СИ в полученную формулу:

$\langle v \rangle = \frac{4 \cdot \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{200}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}}{\frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} + 3 \cdot \frac{200}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{\frac{40000}{27} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{\frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} + \frac{200}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{\frac{40000}{27} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{\frac{250}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{40000}{27} \cdot \frac{3}{250} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{160}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Результат в м/с: $\langle v \rangle = \frac{160}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 17.78 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Поскольку исходные данные были в км/ч, переведем ответ в те же единицы для наглядности, умножив значение в м/с на 3.6:

$\langle v \rangle = \frac{160}{9} \cdot 3.6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{160}{9} \cdot \frac{36}{10} \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 16 \cdot 4 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 64 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: средняя путевая скорость автомобиля $\langle v \rangle = 64 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.