Номер 13, страница 11 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 120$ км

$v_1 = 20,0$ км/ч

$v_2 = 60,0$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$l = 120 \text{ км} = 120 \cdot 10^3 \text{ м} = 120000 \text{ м}$

$v_1 = 20,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 20,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 5,56 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 60,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 16,67 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

(Для удобства вычислений и построения графиков будем использовать исходные единицы: км и ч)

Найти:

$\Delta t$, $l_3$

Решение:

Через какой промежуток времени $\Delta t$ и на каком расстоянии $l_3$ от города C, находящегося на одинаковом расстоянии от городов A и B, встретятся автомашины? Решите задачу графически.

Для графического решения задачи построим графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для каждой машины в одной системе координат.

1. Выберем систему отсчета. Пусть ось $Ox$ направлена от города A к городу B. Начало отсчета ($x=0$) совпадает с городом A. Тогда город B будет иметь координату $x_B = l = 120$ км.

2. Запишем уравнения движения для каждой машины. Поскольку скорости постоянны, движение равномерное.
Для первой машины, выехавшей из A ($x_{01}=0$) со скоростью $v_1 = 20$ км/ч, уравнение движения имеет вид:
$x_1(t) = x_{01} + v_1 t = 0 + 20t = 20t$

Для второй машины, выехавшей из B ($x_{02}=120$ км) навстречу первой (ее скорость направлена против оси $Ox$), уравнение движения имеет вид:
$x_2(t) = x_{02} - v_2 t = 120 - 60t$

3. Построим графики этих зависимостей. Оба графика представляют собой прямые линии.
Для построения прямой $x_1(t) = 20t$ найдем две точки:
при $t=0$, $x_1=0$. Точка (0; 0).
при $t=2$, $x_1=20 \cdot 2 = 40$. Точка (2; 40).
Для построения прямой $x_2(t) = 120 - 60t$ найдем две точки:
при $t=0$, $x_2=120$. Точка (0; 120).
при $t=2$, $x_2=120 - 60 \cdot 2 = 0$. Точка (2; 0).

4. Начертим систему координат с осями $t$ (в часах) и $x$ (в км) и проведем через найденные точки две прямые. Точка пересечения этих прямых соответствует моменту и месту встречи машин.
Из графика видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $t_{встр} = 1,5$ ч и $x_{встр} = 30$ км.

5. Таким образом, промежуток времени от начала движения до встречи составляет $\Delta t = t_{встр} = 1,5$ ч.

6. Город C находится на одинаковом расстоянии от A и B, то есть посередине. Его координата:
$x_C = \frac{l}{2} = \frac{120}{2} = 60$ км.

7. Найдем расстояние $l_3$ от города C до места встречи:
$l_3 = |x_C - x_{встр}| = |60 \text{ км} - 30 \text{ км}| = 30 \text{ км}$.

Ответ: Машины встретятся через промежуток времени $\Delta t = 1,5$ ч на расстоянии $l_3 = 30$ км от города C.

Постройте график зависимости расстояния $l$ между машинами от времени $t$ для промежутка времени $\Delta t$ от начала движения до встречи.

1. Расстояние между машинами $l(t)$ в любой момент времени до встречи равно разности их координат:
$l(t) = x_2(t) - x_1(t)$ (поскольку до встречи $x_2 \ge x_1$).

2. Подставим уравнения движения:
$l(t) = (120 - 60t) - 20t = 120 - 80t$.

3. Эта зависимость является линейной и определена на промежутке времени от $t=0$ до момента встречи $t = \Delta t = 1,5$ ч.
Для построения графика найдем значения на концах этого промежутка:
В начальный момент времени $t=0$: $l(0) = 120 - 80 \cdot 0 = 120$ км.
В момент встречи $t=1,5$ ч: $l(1,5) = 120 - 80 \cdot 1,5 = 120 - 120 = 0$ км.

4. График зависимости расстояния $l$ между машинами от времени $t$ представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку (0; 120) на оси ординат (расстояние) и точку (1,5; 0) на оси абсцисс (время). По оси абсцисс откладывается время $t$ в часах, по оси ординат - расстояние $l$ в километрах.