Номер 11, страница 10 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
Графики зависимостей проекций перемещений от времени для случая а) (Рис. 3, а).
Графики зависимостей модулей перемещений от времени для случая б) (Рис. 3, б).

Найти:
$\Delta t_1$ - промежуток времени от первой до второй встречи для случая а).
$\Delta t_2$ - промежуток времени от первой до второй встречи для случая б).

Решение:
Введем систему отсчета, связанную с городом А. Ось ОХ направим от города А к городу В. Пусть город А находится в начале координат ($x_A = 0$), а город В на расстоянии $L$ от него ($x_B = L$).
Автомобиль 1 выезжает из города А в сторону В. Его координата в момент времени $t$ определяется как $x_1(t) = x_A + \Delta r_{x1}(t) = \Delta r_{x1}(t)$, где $\Delta r_{x1}(t)$ - проекция его перемещения на ось OX.
Автомобиль 2 выезжает из города В в сторону А. Его координата $x_2(t) = x_B + \Delta r_{x2}(t) = L + \Delta r_{x2}(t)$, где $\Delta r_{x2}(t)$ - проекция его перемещения на ось OX. Так как он движется против оси, $\Delta r_{x2}(t) < 0$.
Встреча автомобилей происходит в тот момент времени $t$, когда их координаты совпадают: $x_1(t) = x_2(t)$.

а) В данном случае на графике представлены зависимости проекций перемещений $\Delta r_x$ от времени $t$. Верхний график соответствует автомобилю 1 ($\Delta r_{x1}(t) > 0$), нижний — автомобилю 2 ($\Delta r_{x2}(t) < 0$).
Условие встречи: $\Delta r_{x1}(t) = L + \Delta r_{x2}(t)$, откуда расстояние между городами $L = \Delta r_{x1}(t) - \Delta r_{x2}(t)$.
Поскольку $L$ — величина постоянная, то и разность $\Delta r_{x1}(t) - \Delta r_{x2}(t)$ в моменты встреч должна быть одинаковой.
Проанализируем движение автомобилей по графику а):

• Автомобиль 1: движется 10 мин, проезжая 20 км, затем стоит 10 мин (с 10 по 20 мин) в точке с координатой $x_1 = 20$ км, затем возвращается.
• Автомобиль 2: движется 15 мин, проезжая 20 км в обратном направлении ($\Delta r_{x2} = -20$ км), затем стоит 15 мин (с 15 по 30 мин), затем возвращается.

Для того чтобы автомобили встретились, они должны находиться в одной и той же точке в одно и то же время. Из графиков видно, что оба автомобиля имеют периоды остановки. Найдем, где они останавливаются.

Автомобиль 1 останавливается в точке $x_1 = 20$ км на промежутке времени $t \in [10; 20]$ мин.
Автомобиль 2 останавливается в точке с координатой $x_2 = L + \Delta r_{x2} = L - 20$ км на промежутке времени $t \in [15; 30]$ мин.
Встреча и совместная стоянка возможны, если их координаты во время остановки совпадают: $x_1 = x_2$.
$20 = L - 20$, откуда находим расстояние между городами $L = 40$ км.
При $L = 40$ км автомобиль 2 останавливается в точке $x_2 = 40 - 20 = 20$ км.
Таким образом, оба автомобиля останавливаются в одной и той же точке с координатой $x = 20$ км.
Найдем общий промежуток времени, когда они оба находятся в этой точке. Это пересечение временных интервалов их остановок: $[10; 20] \cap [15; 30] = [15; 20]$ мин.
Первый раз они оказываются вместе в момент времени $t_1 = 15$ мин (когда второй автомобиль прибывает на место стоянки первого). Последний раз они находятся вместе в момент времени $t_2 = 20$ мин (когда первый автомобиль уезжает с места стоянки).
Промежуток времени между первой и второй встречей (началом и концом совместной стоянки) равен:
$\Delta t_1 = t_2 - t_1 = 20 \text{ мин} - 15 \text{ мин} = 5 \text{ мин}$.
Ответ: $\Delta t_1 = 5 \text{ мин}$.

б) В данном случае на графике представлены зависимости модулей перемещений $\Delta r = |\Delta r_x|$ от времени $t$.

• Для автомобиля 1, движущегося в положительном направлении, $\Delta r_{x1}(t) = \Delta r_1(t)$.
• Для автомобиля 2, движущегося в отрицательном направлении, $\Delta r_{x2}(t) = -\Delta r_2(t)$.

Условие встречи $x_1(t) = x_2(t)$ принимает вид: $\Delta r_1(t) = L - \Delta r_2(t)$.
Отсюда $L = \Delta r_1(t) + \Delta r_2(t)$.
Обозначим сумму модулей перемещений как $g(t) = \Delta r_1(t) + \Delta r_2(t)$. Встречи происходят в моменты времени $t$, для которых $g(t) = L$.
Составим уравнения для $g(t)$ на разных участках, исходя из графика б):

• $t \in [0; 10]$ мин: $\Delta r_1(t) = 2t$, $\Delta r_2(t) = t$. $g(t) = 2t + t = 3t$.
• $t \in [10; 20]$ мин: $\Delta r_1(t) = 20$, $\Delta r_2(t) = t$. $g(t) = 20 + t$.
• $t \in [20; 30]$ мин: $\Delta r_1(t) = 40 - t$, $\Delta r_2(t) = 20$. $g(t) = 60 - t$.
• $t \in [30; 40]$ мин: $\Delta r_1(t) = 40 - t$, $\Delta r_2(t) = 80 - 2t$. $g(t) = 120 - 3t$.

Функция $g(t)$ возрастает от 0 до $g(20)=40$ км, а затем убывает до 0. Чтобы было две встречи, необходимо $L < 40$ км. В условии задачи значение $L$ не задано. Однако, задача предполагает однозначный ответ. Можно предположить, что расстояние $L$ таково, что одна из встреч совпадает с моментом изменения характера движения одного из автомобилей.
Первое изменение происходит в $t=10$ мин, когда первый автомобиль останавливается. Предположим, что первая встреча происходит в этот момент, $t_1=10$ мин.
Тогда расстояние между городами $L = g(10) = 3 \cdot 10 = 30$ км.
Теперь найдем время второй встречи $t_2$, решив уравнение $g(t_2) = 30$ для $t_2 > 10$ мин. Вторая встреча произойдет, когда автомобили будут двигаться обратно.
Ищем решение на интервале $t \in [20; 30]$ мин: $g(t_2) = 60 - t_2 = 30$, откуда $t_2 = 30$ мин.
Проверим на интервале $t \in [30; 40]$ мин: $g(t_2) = 120 - 3t_2 = 30$, откуда $3t_2 = 90$, $t_2 = 30$ мин.
Оба интервала дают один и тот же результат $t_2 = 30$ мин. Итак, первая встреча происходит в $t_1 = 10$ мин, вторая — в $t_2 = 30$ мин.
Промежуток времени между встречами:
$\Delta t_2 = t_2 - t_1 = 30 \text{ мин} - 10 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$.
Ответ: $\Delta t_2 = 20 \text{ мин}$.