Номер 6, страница 9 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для трех материальных точек (Рис. 1).

Все величины в задаче даны в системе СИ (координата $x$ в метрах (м), время $t$ в секундах (с)), поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

1. Проекции скоростей $v_{1x}, v_{2x}, v_{3x}$.

2. Построить графики зависимости пути $s(t)$ и проекции перемещения $\Delta r_x(t)$.

Решение:

1. Нахождение проекций скоростей $v_{1x}, v_{2x}, v_{3x}$

Графики зависимости координаты от времени $x(t)$ являются прямыми линиями. Это означает, что движение всех трех точек является равномерным прямолинейным. Проекция скорости на ось OX при таком движении постоянна и равна тангенсу угла наклона графика $x(t)$ к оси времени. Она вычисляется по формуле:

$v_x = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x - x_0}{t - t_0}$

где $(t_0, x_0)$ и $(t, x)$ — координаты двух любых точек на графике.

Для точки 1:

Выберем на графике точки $(t_0 = 0 \text{ c}, x_0 = 0 \text{ м})$ и $(t = 1 \text{ c}, x = 1 \text{ м})$.

$v_{1x} = \frac{1 \text{ м} - 0 \text{ м}}{1 \text{ c} - 0 \text{ c}} = 1 \text{ м/с}$

Для точки 2:

Выберем на графике точки $(t_0 = 0 \text{ c}, x_0 = -2 \text{ м})$ и $(t = 1 \text{ c}, x = 1 \text{ м})$.

$v_{2x} = \frac{1 \text{ м} - (-2 \text{ м})}{1 \text{ c} - 0 \text{ c}} = \frac{3 \text{ м}}{1 \text{ c}} = 3 \text{ м/с}$

Для точки 3:

Выберем на графике точки $(t_0 = 0 \text{ c}, x_0 = 2 \text{ м})$ и $(t = 2 \text{ c}, x = 0 \text{ м})$.

$v_{3x} = \frac{0 \text{ м} - 2 \text{ м}}{2 \text{ c} - 0 \text{ c}} = \frac{-2 \text{ м}}{2 \text{ c}} = -1 \text{ м/с}$

Ответ: $v_{1x} = 1 \text{ м/с}$, $v_{2x} = 3 \text{ м/с}$, $v_{3x} = -1 \text{ м/с}$.

2. Построение графиков зависимости пути $s$ и проекции перемещения $\Delta r_x$ от времени

а) Графики зависимости проекции перемещения $\Delta r_x(t)$

Проекция перемещения $\Delta r_x$ при равномерном движении определяется по формуле $\Delta r_x = v_x \cdot t$. Это линейная зависимость, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$.

Для точки 1: $\Delta r_{1x} = v_{1x} \cdot t = 1 \cdot t = t$. График – прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

Для точки 2: $\Delta r_{2x} = v_{2x} \cdot t = 3 \cdot t = 3t$. График – прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$.

Для точки 3: $\Delta r_{3x} = v_{3x} \cdot t = -1 \cdot t = -t$. График – прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, -2)$.

б) Графики зависимости пути $s(t)$

Поскольку движение прямолинейное и в одном направлении для каждой точки, пройденный путь $s$ равен модулю перемещения: $s = |\Delta r_x| = |v_x| \cdot t$. Путь не может быть отрицательным, поэтому графики $s(t)$ будут расположены в первой координатной четверти.

Для точки 1: $s_1 = |v_{1x}| \cdot t = |1| \cdot t = t$. График совпадает с графиком $\Delta r_{1x}(t)$.

Для точки 2: $s_2 = |v_{2x}| \cdot t = |3| \cdot t = 3t$. График совпадает с графиком $\Delta r_{2x}(t)$.

Для точки 3: $s_3 = |v_{3x}| \cdot t = |-1| \cdot t = t$. График является зеркальным отражением графика $\Delta r_{3x}(t)$ относительно оси времени. Графики $s_1(t)$ и $s_3(t)$ совпадают.

Ответ: Графики зависимости проекции перемещения $\Delta r_x(t)$ и пути $s(t)$ от времени — это прямые линии, выходящие из начала координат.
- Для $\Delta r_x(t)$: угловые коэффициенты прямых равны проекциям скоростей $v_{1x}=1$, $v_{2x}=3$, $v_{3x}=-1$.
- Для $s(t)$: угловые коэффициенты прямых равны модулям скоростей $|v_{1x}|=1$, $|v_{2x}|=3$, $|v_{3x}|=1$.