Номер 5, страница 9 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$ \Delta r_1 = 3,0 \text{ км} $ (направление на северо-восток)

$ \Delta r_2 = 1,0 \text{ км} $ (направление на север)

$ \Delta r_1 = 3,0 \text{ км} = 3000 \text{ м} $
$ \Delta r_2 = 1,0 \text{ км} = 1000 \text{ м} $

Найти:

$ \Delta r $ — модуль полного перемещения лодки.

Решение:

Результирующее перемещение $ \vec{\Delta r} $ является векторной суммой двух последовательных перемещений $ \vec{\Delta r_1} $ и $ \vec{\Delta r_2} $:

$ \vec{\Delta r} = \vec{\Delta r_1} + \vec{\Delta r_2} $

Аналитически

Для нахождения модуля вектора суммы воспользуемся методом проекций. Введем прямоугольную систему координат, направив ось ОY на север, а ось ОХ — на восток. Начало координат совпадает с начальной точкой движения.

Первое перемещение $ \vec{\Delta r_1} $ направлено на северо-восток, то есть под углом $ \alpha = 45^\circ $ к оси OX. Его проекции на оси координат:

$ \Delta r_{1x} = \Delta r_1 \cdot \cos(45^\circ) = 3,0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2,121 \text{ км} $

$ \Delta r_{1y} = \Delta r_1 \cdot \sin(45^\circ) = 3,0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2,121 \text{ км} $

Второе перемещение $ \vec{\Delta r_2} $ направлено на север, то есть вдоль оси ОY. Его проекции:

$ \Delta r_{2x} = 0 \text{ км} $

$ \Delta r_{2y} = 1,0 \text{ км} $

Проекции результирующего вектора перемещения $ \vec{\Delta r} $ равны сумме проекций составляющих векторов:

$ \Delta r_x = \Delta r_{1x} + \Delta r_{2x} = 2,121 + 0 = 2,121 \text{ км} $

$ \Delta r_y = \Delta r_{1y} + \Delta r_{2y} = 2,121 + 1,0 = 3,121 \text{ км} $

Модуль результирующего перемещения $ \Delta r $ найдем по теореме Пифагора:

$ \Delta r = \sqrt{(\Delta r_x)^2 + (\Delta r_y)^2} = \sqrt{(2,121)^2 + (3,121)^2} $

$ \Delta r = \sqrt{4,4986 + 9,7406} = \sqrt{14,2392} \approx 3,77 \text{ км} $

С учетом точности исходных данных, округляем результат до двух значащих цифр.

Ответ: аналитически найденный модуль перемещения лодки составляет приблизительно 3,8 км.

Графически

Для графического решения задачи воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника).

1. Выберем масштаб, например, 1 см на чертеже соответствует 1 км на местности.
2. Из произвольной начальной точки О строим вектор $ \vec{\Delta r_1} $ длиной 3,0 см под углом 45° к горизонтальному направлению (востоку).
3. Из конца вектора $ \vec{\Delta r_1} $ строим вектор $ \vec{\Delta r_2} $ длиной 1,0 см, направленный вертикально вверх (на север).
4. Соединяем начальную точку О с концом вектора $ \vec{\Delta r_2} $. Полученный вектор $ \vec{\Delta r} $ является искомым полным перемещением.
5. Измеряем длину вектора $ \vec{\Delta r} $ с помощью линейки. Длина составит примерно 3,8 см.
6. Переводим полученную длину обратно в километры с учетом масштаба: $ 3,8 \text{ см} \cdot \frac{1 \text{ км}}{1 \text{ см}} = 3,8 \text{ км} $.

Ответ: графически найденный модуль перемещения лодки составляет приблизительно 3,8 км.