Номер 9, страница 10 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$x(t) = A + Bt$

$y(t) = C + Dt$

$A = -1$ м

$B = 1$ м/с

$C = 2$ м

$D = -2$ м/с

$t_0 = 0$ с

$t_1 = 2$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$x_0, y_0, x_1, y_1$ - координаты точки в моменты времени $t_0$ и $t_1$.

$v$ - модуль скорости.

$\alpha$ - угол между скоростью $\vec{v}$ и осью OX.

$y(x)$ - уравнение траектории.

Построить траекторию.

Решение:

координаты $x_0$ и $y_0$, $x_1$ и $y_1$ точки в моменты времени $t_0 = 0$ с и $t_1 = 2$ с

Подставим заданные значения A, B, C, D в уравнения движения:

$x(t) = -1 + 1 \cdot t = -1 + t$

$y(t) = 2 + (-2) \cdot t = 2 - 2t$

Найдем координаты точки в момент времени $t_0 = 0$ с:

$x_0 = x(t_0) = -1 + 0 = -1$ м

$y_0 = y(t_0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2$ м

Таким образом, начальные координаты точки $M_0(-1; 2)$.

Найдем координаты точки в момент времени $t_1 = 2$ с:

$x_1 = x(t_1) = -1 + 2 = 1$ м

$y_1 = y(t_1) = 2 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2$ м

Таким образом, координаты точки в момент $t_1$ равны $M_1(1; -2)$.

Ответ: В момент времени $t_0 = 0$ с координаты точки $(-1; 2)$. В момент времени $t_1 = 2$ с координаты точки $(1; -2)$.

модуль скорости $v$ ее движения и угол $\alpha$ между скоростью $\vec{v}$ и осью OX

Скорость является первой производной от координаты по времени. Найдем проекции скорости на оси OX и OY:

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-1 + t) = 1$ м/с

$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2 - 2t) = -2$ м/с

Так как проекции скорости $v_x$ и $v_y$ являются постоянными величинами, движение является равномерным и прямолинейным.

Модуль скорости $v$ найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ м/с $\approx 2.24$ м/с

Угол $\alpha$ между вектором скорости $\vec{v}$ и положительным направлением оси OX определяется через тангенс отношения проекций скорости:

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{-2}{1} = -2$

Отсюда, $\alpha = \arctan(-2) \approx -63.4^{\circ}$ или $296.6^{\circ}$.

Ответ: Модуль скорости $v = \sqrt{5}$ м/с. Угол $\alpha$ между вектором скорости и осью OX равен $\arctan(-2)$, что составляет примерно $-63.4^{\circ}$.

Напишите уравнение траектории $y(x)$ и постройте траекторию в плоскости XOY

Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $t$ из системы уравнений движения:

$x = -1 + t$

$y = 2 - 2t$

Из первого уравнения выразим время $t$:

$t = x + 1$

Подставим полученное выражение для $t$ во второе уравнение:

$y = 2 - 2(x + 1) = 2 - 2x - 2 = -2x$

Уравнение траектории: $y(x) = -2x$.

Это уравнение прямой линии, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = -2$.

Для построения траектории в плоскости XOY можно использовать две найденные ранее точки: $M_0(-1; 2)$ и $M_1(1; -2)$. Соединив эти точки, мы получим отрезок траектории движения точки за промежуток времени от $t_0 = 0$ с до $t_1 = 2$ с. Сама траектория является прямой линией, проходящей через эти точки.

Ответ: Уравнение траектории $y(x) = -2x$. График траектории - прямая линия, проходящая через начало координат и, например, через точки $M_0(-1; 2)$ и $M_1(1; -2)$.