Номер 15, страница 11 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 80 \frac{км}{ч}$

$v_2 = 40 \frac{км}{ч}$

$t_1 = t_2 = \frac{1}{2} t_{общ}$

$v_1 = 80 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{800}{36} \frac{м}{с} = \frac{200}{9} \frac{м}{с} \approx 22,2 \frac{м}{с}$

$v_2 = 40 \cdot \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{400}{36} \frac{м}{с} = \frac{100}{9} \frac{м}{с} \approx 11,1 \frac{м}{с}$

Найти:

$⟨v⟩$

Решение:

Средняя путевая скорость $⟨v⟩$ определяется как отношение всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему времени движения $t_{общ}$:

$⟨v⟩ = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть всё время движения автомобиля равно $t_{общ}$.

По условию задачи, первую половину времени, то есть $t_1 = \frac{t_{общ}}{2}$, автомобиль двигался со скоростью $v_1$. Путь, пройденный за это время, равен:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \frac{t_{общ}}{2}$

Вторую половину времени, то есть $t_2 = \frac{t_{общ}}{2}$, автомобиль двигался со скоростью $v_2$. Путь, пройденный за это время, равен:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \frac{t_{общ}}{2}$

Весь пройденный путь $S_{общ}$ равен сумме путей на каждом участке:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = v_1 \frac{t_{общ}}{2} + v_2 \frac{t_{общ}}{2} = (v_1 + v_2) \frac{t_{общ}}{2}$

Теперь подставим выражение для общего пути в формулу для средней скорости:

$⟨v⟩ = \frac{(v_1 + v_2) \frac{t_{общ}}{2}}{t_{общ}}$

Сократив в числителе и знаменателе $t_{общ}$, получим, что в данном случае средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей:

$⟨v⟩ = \frac{v_1 + v_2}{2}$

Подставим числовые значения скоростей из условия задачи:

$⟨v⟩ = \frac{80 \frac{км}{ч} + 40 \frac{км}{ч}}{2} = \frac{120 \frac{км}{ч}}{2} = 60 \frac{км}{ч}$

Ответ: $60 \frac{км}{ч}$.