Номер 19, страница 12 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$s_1 = s_2 = S/2$, где $S$ - весь путь

$v_1 = 6,0 \text{ м/с}$

$\alpha_1 = 45^\circ$

$v_2 = 9,0 \text{ м/с}$

$\alpha_2 = 135^\circ$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$\langle v \rangle - ?$

$|\langle \vec{v} \rangle| - ?$

Решение:

Средняя путевая скорость $\langle v \rangle$

Средняя путевая скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть половина пути равна $s$. Тогда весь путь $S_{общ} = s_1 + s_2 = s + s = 2s$.

Время, затраченное на прохождение первой половины пути: $t_1 = \frac{s}{v_1}$.

Время, затраченное на прохождение второй половины пути: $t_2 = \frac{s}{v_2}$.

Общее время движения: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = s(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})$.

Подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней путевой скорости:

$\langle v \rangle = \frac{2s}{s(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

Подставим числовые значения:

$\langle v \rangle = \frac{2 \cdot 6,0 \text{ м/с} \cdot 9,0 \text{ м/с}}{6,0 \text{ м/с} + 9,0 \text{ м/с}} = \frac{108}{15} \text{ м/с} = 7,2 \text{ м/с}$.

Ответ: Средняя путевая скорость равна $7,2 \text{ м/с}$.

Модуль средней скорости перемещения $|\langle \vec{v} \rangle|$

Средняя скорость перемещения - это векторная величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое это перемещение совершено: $\langle \vec{v} \rangle = \frac{\Delta \vec{r}}{t_{общ}}$. Нам нужно найти ее модуль: $|\langle \vec{v} \rangle| = \frac{|\Delta \vec{r}|}{t_{общ}}$.

Вектор перемещения $\Delta \vec{r}$ является суммой векторов перемещения на каждом из участков: $\Delta \vec{r} = \Delta \vec{r_1} + \Delta \vec{r_2}$.

Найдем компоненты векторов перемещения в системе координат, где ось OX совпадает с указанным направлением. Модули векторов перемещения на каждом участке равны половине пути $s$: $|\Delta \vec{r_1}| = |\Delta \vec{r_2}| = s$.

Компоненты первого вектора перемещения $\Delta \vec{r_1}$:

$\Delta x_1 = s \cdot \cos(\alpha_1) = s \cdot \cos(45^\circ) = s \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Delta y_1 = s \cdot \sin(\alpha_1) = s \cdot \sin(45^\circ) = s \frac{\sqrt{2}}{2}$

Компоненты второго вектора перемещения $\Delta \vec{r_2}$:

$\Delta x_2 = s \cdot \cos(\alpha_2) = s \cdot \cos(135^\circ) = -s \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Delta y_2 = s \cdot \sin(\alpha_2) = s \cdot \sin(135^\circ) = s \frac{\sqrt{2}}{2}$

Компоненты результирующего вектора перемещения $\Delta \vec{r}$:

$\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 = s \frac{\sqrt{2}}{2} - s \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$

$\Delta y = \Delta y_1 + \Delta y_2 = s \frac{\sqrt{2}}{2} + s \frac{\sqrt{2}}{2} = s\sqrt{2}$

Модуль вектора полного перемещения:

$|\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{0^2 + (s\sqrt{2})^2} = s\sqrt{2}$.

Общее время движения, как было найдено ранее: $t_{общ} = s \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$.

Теперь можем найти модуль средней скорости перемещения:

$|\langle \vec{v} \rangle| = \frac{|\Delta \vec{r}|}{t_{общ}} = \frac{s\sqrt{2}}{s \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}} = \frac{\sqrt{2} v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

Подставим числовые значения:

$|\langle \vec{v} \rangle| = \frac{\sqrt{2} \cdot 6,0 \text{ м/с} \cdot 9,0 \text{ м/с}}{6,0 \text{ м/с} + 9,0 \text{ м/с}} = \frac{54\sqrt{2}}{15} \text{ м/с} = \frac{18\sqrt{2}}{5} \text{ м/с} = 3,6\sqrt{2} \text{ м/с}$.

Вычислим приближенное значение, учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$|\langle \vec{v} \rangle| \approx 3,6 \cdot 1,414 \text{ м/с} \approx 5,09 \text{ м/с}$.

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем $5,1 \text{ м/с}$.

Ответ: Модуль средней скорости перемещения равен $5,1 \text{ м/с}$.