Номер 18, страница 12 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 30$ м/с (скорость в первой половине времени, направление - север)
$v_2 = 40$ м/с (скорость во второй половине времени, направление - восток)
$t_1 = t_2 = \frac{t_{общ}}{2}$, где $t_{общ}$ - общее время движения.

Найти:

$\langle v \rangle$ - среднюю путевую скорость
$|\langle \vec{v} \rangle|$ - модуль средней скорости перемещения

Решение:

Средняя путевая скорость $\langle v \rangle$

Средняя путевая скорость — это скалярная величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему времени движения.

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим общее время движения как $t$. Тогда первая половина времени равна $t/2$, и вторая половина времени также равна $t/2$.

Путь, пройденный за первую половину времени:

$S_1 = v_1 \cdot \frac{t}{2}$

Путь, пройденный за вторую половину времени:

$S_2 = v_2 \cdot \frac{t}{2}$

Общий путь $S_{общ}$ равен сумме путей, пройденных на каждом участке:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = v_1 \frac{t}{2} + v_2 \frac{t}{2} = \frac{(v_1 + v_2)t}{2}$

Теперь можно вычислить среднюю путевую скорость:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t} = \frac{\frac{(v_1 + v_2)t}{2}}{t} = \frac{v_1 + v_2}{2}$

Подставим числовые значения:

$\langle v \rangle = \frac{30 \text{ м/с} + 40 \text{ м/с}}{2} = \frac{70 \text{ м/с}}{2} = 35$ м/с

Ответ: средняя путевая скорость равна 35 м/с.

Модуль средней скорости перемещения $|\langle \vec{v} \rangle|$

Средняя скорость перемещения — это векторная величина, равная отношению вектора полного перемещения ко всему времени движения.

$\langle \vec{v} \rangle = \frac{\Delta\vec{r}}{t_{общ}}$

Модуль средней скорости перемещения равен модулю вектора перемещения, деленному на общее время.

$|\langle \vec{v} \rangle| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{t}$

Перемещение за первую половину времени — это вектор $\Delta\vec{r}_1$, направленный на север, с модулем $|\Delta\vec{r}_1| = S_1 = v_1 \frac{t}{2}$.

Перемещение за вторую половину времени — это вектор $\Delta\vec{r}_2$, направленный на восток, с модулем $|\Delta\vec{r}_2| = S_2 = v_2 \frac{t}{2}$.

Полное перемещение $\Delta\vec{r}$ является векторной суммой $\Delta\vec{r}_1 + \Delta\vec{r}_2$.

Так как векторы перемещения $\Delta\vec{r}_1$ (на север) и $\Delta\vec{r}_2$ (на восток) перпендикулярны друг другу, модуль полного перемещения $|\Delta\vec{r}|$ можно найти по теореме Пифагора:

$|\Delta\vec{r}| = \sqrt{|\Delta\vec{r}_1|^2 + |\Delta\vec{r}_2|^2} = \sqrt{(v_1 \frac{t}{2})^2 + (v_2 \frac{t}{2})^2} = \sqrt{(\frac{t}{2})^2(v_1^2 + v_2^2)} = \frac{t}{2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Теперь найдем модуль средней скорости перемещения:

$|\langle \vec{v} \rangle| = \frac{|\Delta\vec{r}|}{t} = \frac{\frac{t}{2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}{t} = \frac{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}{2}$

Подставим числовые значения:

$|\langle \vec{v} \rangle| = \frac{\sqrt{(30 \text{ м/с})^2 + (40 \text{ м/с})^2}}{2} = \frac{\sqrt{900 + 1600}}{2} = \frac{\sqrt{2500}}{2} = \frac{50 \text{ м/с}}{2} = 25$ м/с

Ответ: модуль средней скорости перемещения равен 25 м/с.