Номер 21, страница 12 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 12 \frac{км}{ч}$

$v_2 = 6,0 \frac{км}{ч}$

$v_3 = 4,0 \frac{км}{ч}$

Пусть $S$ - весь путь. Первый участок пути $S_1 = S/2$. На оставшемся пути $S_2 + S_3 = S/2$ время движения делится пополам: $t_2 = t_3$.

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 12 \frac{км}{ч} = 12 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{10}{3} \frac{м}{с} \approx 3,3 \frac{м}{с}$

$v_2 = 6,0 \frac{км}{ч} = 6,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{3} \frac{м}{с} \approx 1,7 \frac{м}{с}$

$v_3 = 4,0 \frac{км}{ч} = 4,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{10}{9} \frac{м}{с} \approx 1,1 \frac{м}{с}$

Найти:

$\langle v \rangle$

Решение:

Средняя скорость определяется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим весь путь как $S$.

Первую половину пути $S_1 = S/2$ велосипедист проехал со скоростью $v_1$. Время, затраченное на этот участок:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

Вторую половину пути $S_{ост} = S/2$ велосипедист преодолел за время $t_{ост}$. Согласно условию, это время делится на два равных промежутка $t_2$ и $t_3$, в течение которых он двигался со скоростями $v_2$ и $v_3$ соответственно. Таким образом, $t_2 = t_3 = t_{ост}/2$.

Пути, пройденные за эти промежутки времени:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{t_{ост}}{2}$

$S_3 = v_3 \cdot t_3 = v_3 \cdot \frac{t_{ост}}{2}$

Суммарный путь на втором участке равен второй половине всего пути:

$S_{ост} = S_2 + S_3 = v_2 \frac{t_{ост}}{2} + v_3 \frac{t_{ост}}{2} = \frac{t_{ост}}{2}(v_2 + v_3)$

Так как $S_{ост} = S/2$, мы можем приравнять выражения:

$\frac{S}{2} = \frac{t_{ост}}{2}(v_2 + v_3)$

Отсюда выразим время, затраченное на второй участок пути:

$t_{ост} = \frac{S}{v_2 + v_3}$

Теперь найдем общее время движения, сложив время, затраченное на оба участка:

$t_{общ} = t_1 + t_{ост} = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_2 + v_3}$

Подставим общее время в формулу для средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{v_2 + v_3}}$

Сократив $S$ в числителе и знаменателе, получим общую формулу для средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{v_2 + v_3}}$

Подставим числовые значения скоростей $v_1 = 12 \frac{км}{ч}$, $v_2 = 6,0 \frac{км}{ч}$, $v_3 = 4,0 \frac{км}{ч}$:

$\langle v \rangle = \frac{1}{\frac{1}{2 \cdot 12} + \frac{1}{6,0 + 4,0}} = \frac{1}{\frac{1}{24} + \frac{1}{10}} = \frac{1}{\frac{5}{120} + \frac{12}{120}} = \frac{1}{\frac{17}{120}} = \frac{120}{17} \frac{км}{ч}$

Вычислим приближенное значение:

$\langle v \rangle \approx 7,0588... \frac{км}{ч}$

В исходных данных скорости заданы с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

$\langle v \rangle \approx 7,1 \frac{км}{ч}$

Ответ: средняя скорость велосипедиста на всем пути равна $\frac{120}{17} \frac{км}{ч}$, что приблизительно составляет $7,1 \frac{км}{ч}$.