Номер 16, страница 11 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 80 \frac{км}{ч}$

$v_2 = 40 \frac{км}{ч}$

$S_1 = S_2 = \frac{S}{2}$ (первая и вторая половины пути равны)

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 80 \frac{км}{ч} = 80 \cdot \frac{1000 м}{3600 с} = \frac{800}{36} \frac{м}{с} = \frac{200}{9} \frac{м}{с} \approx 22,2 \frac{м}{с}$

$v_2 = 40 \frac{км}{ч} = 40 \cdot \frac{1000 м}{3600 с} = \frac{400}{36} \frac{м}{с} = \frac{100}{9} \frac{м}{с} \approx 11,1 \frac{м}{с}$

Найти:

$\langle v \rangle$ — среднюю путевую скорость.

Решение:

Средняя путевая скорость $\langle v \rangle$ по определению равна отношению всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему времени движения $t_{общ}$.

$\langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим весь путь как $S$. Согласно условию, автомобиль проехал два равных участка пути, каждый длиной $S_1 = S_2 = \frac{S}{2}$.

Таким образом, весь пройденный путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{S}{2} + \frac{S}{2} = S$.

Время, затраченное на прохождение первого участка пути, равно: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.

Время, затраченное на прохождение второго участка пути, равно: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$.

Общее время движения равно сумме времен на каждом участке: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}$.

Теперь подставим выражения для $S_{общ}$ и $t_{общ}$ в формулу для средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}}$

Вынесем $S$ в знаменателе за скобки и сократим его с $S$ в числителе:

$\langle v \rangle = \frac{S}{S(\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $2v_1v_2$:

$\langle v \rangle = \frac{1}{\frac{v_2 + v_1}{2v_1v_2}}$

Перевернем дробь в знаменателе, чтобы получить окончательную формулу:

$\langle v \rangle = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения скоростей $v_1 = 80 \frac{км}{ч}$ и $v_2 = 40 \frac{км}{ч}$:

$\langle v \rangle = \frac{2 \cdot 80 \frac{км}{ч} \cdot 40 \frac{км}{ч}}{80 \frac{км}{ч} + 40 \frac{км}{ч}} = \frac{6400 (\frac{км}{ч})^2}{120 \frac{км}{ч}} = \frac{640}{12} \frac{км}{ч} = \frac{160}{3} \frac{км}{ч} \approx 53,3 \frac{км}{ч}$

Ответ: средняя путевая скорость автомобиля равна $\frac{160}{3} \frac{км}{ч}$, что приблизительно составляет $53,3 \frac{км}{ч}$.