Номер 20, страница 12 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_1 = 60 \frac{км}{ч}$

$v_2 = 40 \frac{км}{ч}$

Перевод в систему СИ:

$v_1 = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \frac{м}{с} \approx 16.67 \frac{м}{с}$

$v_2 = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{9} \frac{м}{с} \approx 11.11 \frac{м}{с}$

Поскольку исходные данные и вопрос не требуют ответа в СИ, для удобства будем проводить вычисления в км/ч.

$\langle v \rangle$ - среднюю скорость автомобиля за первую половину промежутка времени движения.

Пусть весь путь, пройденный автомобилем, равен $S$.

Первую половину пути, $S_1 = S/2$, автомобиль двигался со скоростью $v_1$. Время, затраченное на этот участок, равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

Вторую половину пути, $S_2 = S/2$, автомобиль двигался со скоростью $v_2$. Время, затраченное на этот участок, равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Общее время движения автомобиля составляет:

$T = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2} = \frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1v_2}$

Нам необходимо найти среднюю скорость за первую половину общего времени движения, то есть за промежуток времени $t_{1/2} = T/2$.

$t_{1/2} = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{S(v_1 + v_2)}{2v_1v_2} = \frac{S(v_1 + v_2)}{4v_1v_2}$

Чтобы найти путь, пройденный за это время, необходимо определить, где находился автомобиль. Для этого сравним время движения на первом участке, $t_1$, с половиной общего времени, $t_{1/2}$.

Найдем их отношение:

$\frac{t_1}{t_{1/2}} = \frac{S/(2v_1)}{S(v_1 + v_2)/(4v_1v_2)} = \frac{S}{2v_1} \cdot \frac{4v_1v_2}{S(v_1 + v_2)} = \frac{2v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения: $\frac{2 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{80}{100} = 0.8$.

Так как отношение меньше единицы, $t_1 < t_{1/2}$. Это означает, что за первую половину времени движения автомобиль успел полностью проехать первый участок и двигался некоторое время по второму участку.

Путь $S_{1/2}$, пройденный за время $t_{1/2}$, складывается из пути на первом участке ($S_1 = S/2$) и пути $S'$, пройденного по второму участку за оставшееся время $t' = t_{1/2} - t_1$.

Общий путь за время $t_{1/2}$ можно выразить как:

$S_{1/2} = S_1 + S' = v_1 t_1 + v_2(t_{1/2} - t_1)$

$S_{1/2} = \frac{S}{2} + v_2 \left( \frac{S(v_1 + v_2)}{4v_1v_2} - \frac{S}{2v_1} \right)$

$S_{1/2} = \frac{S}{2} + v_2 \left( \frac{S(v_1 + v_2) - 2Sv_2}{4v_1v_2} \right) = \frac{S}{2} + v_2 \frac{S(v_1 - v_2)}{4v_1v_2} = \frac{S}{2} + \frac{S(v_1 - v_2)}{4v_1}$

$S_{1/2} = S \left( \frac{1}{2} + \frac{v_1 - v_2}{4v_1} \right) = S \left( \frac{2v_1 + v_1 - v_2}{4v_1} \right) = S \frac{3v_1 - v_2}{4v_1}$

Средняя скорость за первую половину времени движения определяется как отношение пути $S_{1/2}$ ко времени $t_{1/2}$:

$\langle v \rangle = \frac{S_{1/2}}{t_{1/2}} = \frac{S \frac{3v_1 - v_2}{4v_1}}{S \frac{v_1 + v_2}{4v_1v_2}} = \frac{3v_1 - v_2}{4v_1} \cdot \frac{4v_1v_2}{v_1 + v_2} = \frac{(3v_1 - v_2)v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения:

$\langle v \rangle = \frac{(3 \cdot 60 - 40) \cdot 40}{60 + 40} = \frac{(180 - 40) \cdot 40}{100} = \frac{140 \cdot 40}{100} = 14 \cdot 4 = 56 \frac{км}{ч}$

Средняя скорость автомобиля за первую половину промежутка времени движения равна $56 \frac{км}{ч}$.