Номер 8, страница 10 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Из графика зависимости координаты от времени для двух тел:

Тело 1:

начальная координата $x_{01} = 4,0$ м

начальный момент времени $t_{01} = 0$ с

Тело 2:

начальная координата $x_{02} = 0$ м

начальный момент времени $t_{02} = 2,0$ с

Параметры встречи (точка пересечения графиков):

координата встречи $x_{в} = 6,0$ м

момент времени встречи $t_{в} = 4,0$ с

Найти:

$Δt_1, Δt_2, x_1, s_1, s_2, t_3$

Решение:

Промежутки времени $Δt_1$ и $Δt_2$ движения тел до встречи

Промежуток времени движения для первого тела до встречи — это разница между временем встречи и начальным временем движения первого тела.

$Δt_1 = t_{в} - t_{01} = 4,0 \text{ с} - 0 \text{ с} = 4,0 \text{ с}$

Промежуток времени движения для второго тела до встречи — это разница между временем встречи и начальным временем движения второго тела.

$Δt_2 = t_{в} - t_{02} = 4,0 \text{ с} - 2,0 \text{ с} = 2,0 \text{ с}$

Ответ: $Δt_1 = 4,0$ с, $Δt_2 = 2,0$ с.

Координату $x_1$ места встречи

Координата места встречи — это ордината точки пересечения графиков. Из графика видно, что тела встречаются в точке с координатой 6,0 м. В задаче эта координата обозначена как $x_1$.

$x_1 = x_{в} = 6,0$ м

Ответ: $x_1 = 6,0$ м.

Пути $s_1$ и $s_2$, пройденные телами до встречи

Путь, пройденный первым телом, равен модулю разности его конечной (в момент встречи) и начальной координат.

$s_1 = |x_{в} - x_{01}| = |6,0 \text{ м} - 4,0 \text{ м}| = 2,0 \text{ м}$

Путь, пройденный вторым телом, равен модулю разности его конечной и начальной координат.

$s_2 = |x_{в} - x_{02}| = |6,0 \text{ м} - 0 \text{ м}| = 6,0 \text{ м}$

Ответ: $s_1 = 2,0$ м, $s_2 = 6,0$ м.

В какой момент времени $t_3$ расстояние между телами равно начальному?

Сначала определим уравнения движения для каждого тела. Движение обоих тел равномерное, так как графики — прямые линии. Уравнение равномерного движения: $x(t) = x_0 + v(t-t_0)$.

Скорость первого тела:

$v_1 = \frac{x_{в} - x_{01}}{t_{в} - t_{01}} = \frac{6,0 \text{ м} - 4,0 \text{ м}}{4,0 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{2,0 \text{ м}}{4,0 \text{ с}} = 0,5$ м/с.

Уравнение движения первого тела: $x_1(t) = 4,0 + 0,5t$.

Скорость второго тела:

$v_2 = \frac{x_{в} - x_{02}}{t_{в} - t_{02}} = \frac{6,0 \text{ м} - 0 \text{ м}}{4,0 \text{ с} - 2,0 \text{ с}} = \frac{6,0 \text{ м}}{2,0 \text{ с}} = 3,0$ м/с.

Уравнение движения второго тела (для $t \ge 2,0$ с): $x_2(t) = 0 + 3,0(t - 2,0) = 3,0t - 6,0$.

Под "начальным" расстоянием будем понимать расстояние между телами в момент, когда второе тело начало движение, то есть при $t = 2,0$ с.

Найдем координату первого тела в этот момент:

$x_1(2,0) = 4,0 + 0,5 \cdot 2,0 = 5,0$ м.

Координата второго тела в этот момент $x_2(2,0) = 0$ м.

Начальное расстояние:

$d_{нач} = |x_1(2,0) - x_2(2,0)| = |5,0 \text{ м} - 0 \text{ м}| = 5,0$ м.

Теперь найдем момент времени $t_3$, когда расстояние между телами снова будет равно 5,0 м. Расстояние между телами в произвольный момент времени $t \ge 2,0$ с равно:

$d(t) = |x_2(t) - x_1(t)| = |(3,0t - 6,0) - (4,0 + 0,5t)| = |2,5t - 10,0|$.

Приравняем это расстояние к начальному:

$|2,5t_3 - 10,0| = 5,0$.

Это уравнение имеет два решения:

1) $2,5t_3 - 10,0 = 5,0 \implies 2,5t_3 = 15,0 \implies t_3 = \frac{15,0}{2,5} = 6,0$ с.

2) $2,5t_3 - 10,0 = -5,0 \implies 2,5t_3 = 5,0 \implies t_3 = \frac{5,0}{2,5} = 2,0$ с.

Второй корень, $t_3 = 2,0$ с, соответствует начальному моменту времени, который мы рассматривали. Следовательно, искомый момент времени, когда расстояние снова станет равным начальному, — это $t_3 = 6,0$ с.

Ответ: $t_3 = 6,0$ с.