Номер 56, страница 19 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v_0 = 1,0 \frac{м}{с}$
$v = 7,0 \frac{м}{с}$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$v_1$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой для пути при равноускоренном движении, которая не включает время: $S = \frac{v_k^2 - v_н^2}{2a}$, где $S$ - пройденный путь, $v_k$ - конечная скорость, $v_н$ - начальная скорость, $a$ - ускорение.

Пусть $S$ - это полный путь, который прошло тело. На этом пути начальная скорость была $v_0$, а конечная стала $v$. Тогда для всего пути можно записать: $S = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$ (1)

Нас интересует скорость $v_1$ в момент, когда тело прошло половину этого пути, то есть путь $S_1 = \frac{S}{2}$. На этом участке начальная скорость равна $v_0$, а конечная - $v_1$. Запишем формулу для этого участка: $\frac{S}{2} = \frac{v_1^2 - v_0^2}{2a}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Разделим уравнение (1) на уравнение (2): $\frac{S}{\frac{S}{2}} = \frac{\frac{v^2 - v_0^2}{2a}}{\frac{v_1^2 - v_0^2}{2a}}$

Упростим левую и правую части уравнения: $2 = \frac{v^2 - v_0^2}{v_1^2 - v_0^2}$

Теперь выразим из этого уравнения искомую скорость $v_1$: $2(v_1^2 - v_0^2) = v^2 - v_0^2$
$2v_1^2 - 2v_0^2 = v^2 - v_0^2$
$2v_1^2 = v^2 - v_0^2 + 2v_0^2$
$2v_1^2 = v^2 + v_0^2$
$v_1^2 = \frac{v^2 + v_0^2}{2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль скорости $v_1$: $v_1 = \sqrt{\frac{v^2 + v_0^2}{2}}$

Подставим числовые значения из условия: $v_1 = \sqrt{\frac{(7,0 \frac{м}{с})^2 + (1,0 \frac{м}{с})^2}{2}} = \sqrt{\frac{49 \frac{м^2}{с^2} + 1,0 \frac{м^2}{с^2}}{2}} = \sqrt{\frac{50 \frac{м^2}{с^2}}{2}} = \sqrt{25 \frac{м^2}{с^2}} = 5,0 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль скорости данного тела после прохождения половины этого пути равен $5,0 \frac{м}{с}$.