Номер 59, страница 20 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 30$ см

$\Delta t_1 = 1,0$ с

$\Delta t_2 = 2,0$ с

Переведем данные в систему СИ:

$l = 0,3$ м

$t_1 = 1,0$ с

$t_2 = 2,0$ с

Найти:

$v_0$ - модуль начальной скорости

$a$ - модуль ускорения

Решение:

Движение шарика по наклонной плоскости является равноускоренным. Выберем систему отсчета, связанную с основанием наклонной плоскости, и направим ось $Ox$ вверх вдоль плоскости. В этом случае зависимость координаты шарика $x$ от времени $t$ описывается уравнением:

$x(t) = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

где $v_{0x}$ - проекция начальной скорости на ось $Ox$, а $a_x$ - проекция ускорения. Поскольку шарик толкнули вверх, начальная скорость направлена вверх ($v_{0x} = v_0 > 0$), а ускорение, обусловленное силой тяжести и трением, направлено вниз ($a_x = -a < 0$).

По условию, в моменты времени $t_1$ и $t_2$ шарик находился в точке с координатой $x=l$. Это означает, что шарик прошел эту точку сначала при движении вверх ($t_1$), а затем при движении вниз ($t_2$). Запишем уравнения для этих двух моментов времени:

$l = v_0 t_1 - \frac{a t_1^2}{2}$ (1)

$l = v_0 t_2 - \frac{a t_2^2}{2}$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $v_0$ и $a$. Приравняем правые части уравнений:

$v_0 t_1 - \frac{a t_1^2}{2} = v_0 t_2 - \frac{a t_2^2}{2}$

Сгруппируем слагаемые:

$v_0 t_1 - v_0 t_2 = \frac{a t_1^2}{2} - \frac{a t_2^2}{2}$

$v_0 (t_1 - t_2) = \frac{a}{2} (t_1^2 - t_2^2)$

Используем формулу разности квадратов $t_1^2 - t_2^2 = (t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$:

$v_0 (t_1 - t_2) = \frac{a}{2} (t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$

Поскольку $t_1 \neq t_2$, мы можем сократить обе части уравнения на $(t_1 - t_2)$:

$v_0 = \frac{a(t_1 + t_2)}{2}$

Теперь подставим это выражение для $v_0$ в первое уравнение системы (1):

$l = \left(\frac{a(t_1 + t_2)}{2}\right) t_1 - \frac{a t_1^2}{2}$

$l = \frac{a t_1^2 + a t_1 t_2}{2} - \frac{a t_1^2}{2}$

$l = \frac{a t_1 t_2}{2}$

Отсюда выразим модуль ускорения $a$:

$a = \frac{2l}{t_1 t_2}$

Подставим числовые значения для расчета модуля ускорения:

$a = \frac{2 \cdot 0,3 \text{ м}}{1,0 \text{ с} \cdot 2,0 \text{ с}} = \frac{0,6}{2,0} \text{ м/с}^2 = 0,3 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем модуль начальной скорости $v_0$:

$v_0 = \frac{a(t_1 + t_2)}{2} = \frac{0,3 \text{ м/с}^2 \cdot (1,0 \text{ с} + 2,0 \text{ с})}{2}$

$v_0 = \frac{0,3 \cdot 3,0}{2} \text{ м/с} = \frac{0,9}{2} \text{ м/с} = 0,45 \text{ м/с}$

Ответ: модуль начальной скорости $v_0 = 0,45$ м/с, модуль ускорения $a = 0,3$ м/с².