Номер 66, страница 21 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Уравнение движения: $x(t) = A + Bt + Ct^2$
$A = 6,0 \text{ м}$
$B = 3,0 \text{ м/с}$
$C = 2,0 \text{ м/с}^2$
$t_1 = 1,0 \text{ с}$
$t_2 = 4,0 \text{ с}$
$t_0 = 0,0 \text{ с}$
$t = 4,0 \text{ с}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

$a$ — модуль ускорения тела;
$\langle v \rangle$ — среднюю путевую скорость в промежутке времени от $t_1$ до $t_2$;
графики $S(t)$, $v_x(t)$ и $a_x(t)$ в промежутке времени от $t_0$ до $t$.

Решение:

Определение модуля ускорения тела и средней путевой скорости

Заданное уравнение движения $x(t) = A + Bt + Ct^2$ является частным случаем общего уравнения равноускоренного движения по оси OX: $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях времени $t$ в обоих уравнениях, находим:
начальная координата $x_0 = A = 6,0 \text{ м}$;
проекция начальной скорости $v_{0x} = B = 3,0 \text{ м/с}$;
$\frac{a_x}{2} = C = 2,0 \text{ м/с}^2$.

Из последнего соотношения определяем проекцию ускорения:
$a_x = 2C = 2 \cdot 2,0 \text{ м/с}^2 = 4,0 \text{ м/с}^2$.
Модуль ускорения равен абсолютному значению его проекции: $a = |a_x| = 4,0 \text{ м/с}^2$.

Средняя путевая скорость $\langle v \rangle$ находится по формуле $\langle v \rangle = \frac{S}{\Delta t}$, где $S$ — пройденный путь, а $\Delta t = t_2 - t_1$ — промежуток времени.
$\Delta t = 4,0 \text{ с} - 1,0 \text{ с} = 3,0 \text{ с}$.
Для определения пути $S$ найдем зависимость проекции скорости от времени как первую производную координаты по времени:
$v_x(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A + Bt + Ct^2) = B + 2Ct$.
Подставив числовые значения, получим: $v_x(t) = 3,0 + 2 \cdot 2,0 \cdot t = 3,0 + 4,0t$.
В интервале времени от $t_1=1,0$ с до $t_2=4,0$ с проекция скорости $v_x(t)$ положительна, так как $t>0$. Это значит, что тело движется в одном направлении (вдоль оси OX), и пройденный путь равен модулю перемещения: $S = |\Delta x| = |x(t_2) - x(t_1)|$.

Вычислим координаты тела в моменты времени $t_1$ и $t_2$:
$x(t_1) = x(1,0) = 6,0 + 3,0 \cdot 1,0 + 2,0 \cdot (1,0)^2 = 6,0 + 3,0 + 2,0 = 11,0 \text{ м}$.
$x(t_2) = x(4,0) = 6,0 + 3,0 \cdot 4,0 + 2,0 \cdot (4,0)^2 = 6,0 + 12,0 + 32,0 = 50,0 \text{ м}$.
Пройденный путь: $S = 50,0 \text{ м} - 11,0 \text{ м} = 39,0 \text{ м}$.
Теперь можно вычислить среднюю путевую скорость:
$\langle v \rangle = \frac{39,0 \text{ м}}{3,0 \text{ с}} = 13,0 \text{ м/с}$.

Ответ: Модуль ускорения тела $a = 4,0 \text{ м/с}^2$, средняя путевая скорость $\langle v \rangle = 13,0 \text{ м/с}$.

Построение графиков пути, проекций скорости и ускорения

Графики строятся для интервала времени от $t_0 = 0,0 \text{ с}$ до $t = 4,0 \text{ с}$.

1. График проекции ускорения $a_x(t)$.
Так как движение равноускоренное, проекция ускорения постоянна: $a_x = 4,0 \text{ м/с}^2$. График представляет собой прямую линию, параллельную оси времени $t$, на уровне $a_x=4,0$.

2. График проекции скорости $v_x(t)$.
Зависимость проекции скорости от времени линейная: $v_x(t) = 3,0 + 4,0t$. График — прямая линия. Найдем значения на концах интервала:
При $t=0$, $v_x(0) = 3,0 \text{ м/с}$.
При $t=4,0 \text{ с}$, $v_x(4,0) = 3,0 + 4,0 \cdot 4,0 = 19,0 \text{ м/с}$.
График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 3,0)$ и $(4,0; 19,0)$.

3. График пути $S(t)$.
Поскольку на всем интервале от 0 до 4,0 с проекция скорости $v_x(t)$ положительна, направление движения не меняется. Путь, пройденный от момента времени $t_0=0$, равен изменению координаты относительно начального положения: $S(t) = x(t) - x(0)$.
$x(0) = 6,0 \text{ м}$.
$S(t) = (6,0 + 3,0t + 2,0t^2) - 6,0 = 3,0t + 2,0t^2$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Рассчитаем несколько точек:
При $t=0$, $S(0) = 0 \text{ м}$.
При $t=1,0 \text{ с}$, $S(1,0) = 3,0(1,0) + 2,0(1,0)^2 = 5,0 \text{ м}$.
При $t=2,0 \text{ с}$, $S(2,0) = 3,0(2,0) + 2,0(2,0)^2 = 14,0 \text{ м}$.
При $t=4,0 \text{ с}$, $S(4,0) = 3,0(4,0) + 2,0(4,0)^2 = 44,0 \text{ м}$.
График — участок параболы, выходящий из начала координат $(0;0)$ и проходящий через указанные точки.

Ответ: График $a_x(t)$ — горизонтальная прямая $a_x=4,0$. График $v_x(t)$ — отрезок прямой, соединяющий точки $(0; 3,0)$ и $(4,0; 19,0)$. График $S(t)$ — ветвь параболы $S(t) = 3,0t + 2,0t^2$, выходящая из начала координат.