Номер 73, страница 22 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 3,0 \frac{\text{см}}{\text{с}^2}$

$v_1 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$v_2 = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Перевод в систему СИ:

$a = 3,0 \frac{\text{см}}{\text{с}^2} = 0,03 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$v_1 = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$s$

Решение

Оба поезда прошли одинаковый путь $s$ за одинаковое время $t$.

1. Рассмотрим движение первого поезда. Он двигался равноускоренно из состояния покоя ($v_0 = 0$). Путь, пройденный им, описывается формулой:

$s = \frac{at^2}{2}$

Из этой формулы выразим время движения $t$:

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

2. Рассмотрим движение второго поезда. Он двигался с постоянной скоростью на двух участках пути.
Время, затраченное на первую половину пути ($s/2$) со скоростью $v_1$:
$t_1 = \frac{s/2}{v_1} = \frac{s}{2v_1}$
Время, затраченное на вторую половину пути ($s/2$) со скоростью $v_2$:
$t_2 = \frac{s/2}{v_2} = \frac{s}{2v_2}$

Общее время движения второго поезда равно сумме времён на каждом участке:

$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{2v_1} + \frac{s}{2v_2} = \frac{s}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)$

3. Так как по условию задачи время движения обоих поездов одинаково, приравняем выражения для времени:

$\sqrt{\frac{2s}{a}} = \frac{s}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{2s}{a} = \frac{s^2}{4}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)^2$

Поскольку $s \neq 0$, разделим обе части на $s$:

$\frac{2}{a} = \frac{s}{4}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)^2$

Выразим искомый путь $s$:

$s = \frac{8}{a\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)^2} = \frac{8}{a\left(\frac{v_1+v_2}{v_1v_2}\right)^2} = \frac{8(v_1v_2)^2}{a(v_1+v_2)^2}$

4. Подставим числовые значения в систему СИ:

$s = \frac{8 \cdot (5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 15 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{0,03 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (5 \frac{\text{м}}{\text{с}} + 15 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = \frac{8 \cdot (75 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2})^2}{0,03 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2} = \frac{8 \cdot 5625 \frac{\text{м}^4}{\text{с}^4}}{0,03 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 400 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = \frac{45000 \frac{\text{м}^4}{\text{с}^4}}{12 \frac{\text{м}^3}{\text{с}^4}} = 3750 \text{ м}$

Ответ: $s = 3750 \text{ м}$ или $3,75 \text{ км}$.