Номер 68, страница 21 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Уравнение движения первого автомобиля: $x_1(t) = At + Bt^2$

Уравнение движения второго автомобиля: $x_2(t) = C + Dt$

$A = 2,0 \text{ м/с}$

$B = 0,2 \text{ м/с}^2$

$C = 80 \text{ м}$

$D = -4,0 \text{ м/с}$

$t_1 = 5,0 \text{ с}$

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Характер движения автомобилей.

2. Момент времени встречи $t_в$ и координату встречи $x_в$.

3. Расстояние $l$ между автомобилями в момент времени $t_1$.

4. Координату первого автомобиля $x'_1$ в момент, когда второй находился в начале координат.

Решение:

Опишите характер движения автомобилей
Уравнение движения первого автомобиля $x_1 = 2,0t + 0,2t^2$ является частным случаем общего уравнения равноускоренного движения $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$.
Сравнивая эти два уравнения, мы можем определить параметры движения первого автомобиля:
Начальная координата $x_{01} = 0 \text{ м}$.
Начальная скорость $v_{01} = A = 2,0 \text{ м/с}$.
Ускорение $a_1$ находится из соотношения $\frac{a_1t^2}{2} = Bt^2$, откуда $a_1 = 2B = 2 \cdot 0,2 = 0,4 \text{ м/с}^2$.
Так как начальная скорость и ускорение положительны, первый автомобиль движется равноускоренно в положительном направлении оси Ох, стартуя из начала координат.
Уравнение движения второго автомобиля $x_2 = 80 - 4,0t$ является частным случаем общего уравнения равномерного прямолинейного движения $x(t) = x_0 + vt$.
Сравнивая уравнения, определяем параметры движения второго автомобиля:
Начальная координата $x_{02} = C = 80 \text{ м}$.
Скорость $v_2 = D = -4,0 \text{ м/с}$.
Так как скорость постоянна ($v_2 = const$) и отрицательна, второй автомобиль движется равномерно в отрицательном направлении оси Ох, стартуя из точки с координатой 80 м.
Ответ: Первый автомобиль движется из начала координат равноускоренно с начальной скоростью $2,0 \text{ м/с}$ и ускорением $0,4 \text{ м/с}^2$. Второй автомобиль движется из точки с координатой $80 \text{ м}$ равномерно со скоростью $4,0 \text{ м/с}$ навстречу первому (в отрицательном направлении оси Ох).

определите момент времени $t_в$ их встречи и координату $x_в$ встречи
В момент встречи ($t_в$) координаты автомобилей совпадают: $x_1(t_в) = x_2(t_в)$.
$At_в + Bt_в^2 = C + Dt_в$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$Bt_в^2 + (A - D)t_в - C = 0$
Подставим числовые значения коэффициентов:
$0,2t_в^2 + (2,0 - (-4,0))t_в - 80 = 0$
$0,2t_в^2 + 6,0t_в - 80 = 0$
Для удобства решения умножим все уравнение на 5:
$t_в^2 + 30t_в - 400 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D_{уравн} = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 900 + 1600 = 2500$.
Корни уравнения: $t_{в} = \frac{-b \pm \sqrt{D_{уравн}}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{2500}}{2} = \frac{-30 \pm 50}{2}$.
Получаем два решения: $t_{в1} = \frac{-30 + 50}{2} = 10 \text{ с}$ и $t_{в2} = \frac{-30 - 50}{2} = -40 \text{ с}$.
Физический смысл имеет только положительное значение времени, поэтому $t_в = 10 \text{ с}$.
Теперь найдем координату встречи $x_в$, подставив $t_в$ в любое из уравнений движения, например, в более простое уравнение для второго автомобиля:
$x_в = x_2(t_в) = C + Dt_в = 80 - 4,0 \cdot 10 = 80 - 40 = 40 \text{ м}$.
Ответ: Автомобили встретятся через $10 \text{ с}$ после начала движения в точке с координатой $40 \text{ м}$.

расстояние $l$ между автомобилями в момент времени $t_1 = 5,0 \text{ с}$ после начала движения
Для нахождения расстояния между автомобилями в момент времени $t_1 = 5,0 \text{ с}$, нужно найти их координаты в этот момент.
Координата первого автомобиля:
$x_1(t_1) = At_1 + Bt_1^2 = 2,0 \cdot 5,0 + 0,2 \cdot (5,0)^2 = 10 + 0,2 \cdot 25 = 10 + 5 = 15 \text{ м}$.
Координата второго автомобиля:
$x_2(t_1) = C + Dt_1 = 80 - 4,0 \cdot 5,0 = 80 - 20 = 60 \text{ м}$.
Расстояние $l$ — это модуль разности их координат:
$l = |x_2(t_1) - x_1(t_1)| = |60 - 15| = 45 \text{ м}$.
Ответ: Расстояние между автомобилями через $5,0 \text{ с}$ после начала движения составит $45 \text{ м}$.

координату первого автомобиля $x'_1$ в момент времени, когда второй находился в начале координат
Сначала найдем момент времени $t'$, когда второй автомобиль окажется в начале координат ($x_2 = 0$).
$x_2(t') = C + Dt' = 0$
$80 - 4,0t' = 0$
$4,0t' = 80$
$t' = \frac{80}{4,0} = 20 \text{ с}$.
Теперь определим координату первого автомобиля $x'_1$ в этот момент времени $t'$:
$x'_1 = x_1(t') = At' + B(t')^2 = 2,0 \cdot 20 + 0,2 \cdot (20)^2 = 40 + 0,2 \cdot 400 = 40 + 80 = 120 \text{ м}$.
Ответ: Когда второй автомобиль будет в начале координат, первый будет находиться в точке с координатой $120 \text{ м}$.