Номер 67, страница 21 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Зависимость координаты от времени: $x(t) = A + Bt + Ct^2$

$A = 3,0$ м

$B = 2,0$ м/с

$C = 1,0$ м/с²

Найти:

$a$ — модуль ускорения тела

$\langle v_1 \rangle$ — средняя скорость за первую секунду

$\langle v_2 \rangle$ — средняя скорость за вторую секунду

$\langle v_3 \rangle$ — средняя скорость за третью секунду

Решение:

1. Определение модуля ускорения тела.

Общий вид уравнения для равноускоренного движения вдоль оси ОХ имеет вид:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

где $x_0$ — начальная координата, $v_{0x}$ — проекция начальной скорости, $a_x$ — проекция ускорения.

Сравнивая это уравнение с данным в условии задачи $x(t) = A + Bt + Ct^2$, мы можем сопоставить коэффициенты при одинаковых степенях времени $t$:

$x_0 = A = 3,0$ м

$v_{0x} = B = 2,0$ м/с

$\frac{a_x}{2} = C = 1,0$ м/с²

Из последнего соотношения находим проекцию ускорения:

$a_x = 2C = 2 \cdot 1,0 \text{ м/с}^2 = 2,0 \text{ м/с}^2$

Модуль ускорения $a$ равен абсолютному значению его проекции: $a = |a_x| = 2,0$ м/с².

Ответ: Модуль ускорения тела равен $2,0$ м/с².

2. Определение средних скоростей.

Средняя скорость за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$\langle v \rangle = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$

Сначала найдем координаты тела в интересующие нас моменты времени, подставив значения коэффициентов в уравнение движения $x(t) = 3,0 + 2,0t + 1,0t^2$:

$x(0) = 3,0 + 2,0 \cdot 0 + 1,0 \cdot 0^2 = 3,0$ м

$x(1) = 3,0 + 2,0 \cdot 1 + 1,0 \cdot 1^2 = 6,0$ м

$x(2) = 3,0 + 2,0 \cdot 2 + 1,0 \cdot 2^2 = 3,0 + 4,0 + 4,0 = 11,0$ м

$x(3) = 3,0 + 2,0 \cdot 3 + 1,0 \cdot 3^2 = 3,0 + 6,0 + 9,0 = 18,0$ м

Теперь можем рассчитать средние скорости для каждого интервала.

Средняя скорость за первую секунду движения (интервал от $t_1=0$ с до $t_2=1$ с):

$\langle v_1 \rangle = \frac{x(1) - x(0)}{1 - 0} = \frac{6,0 \text{ м} - 3,0 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 3,0 \text{ м/с}$

Ответ: 3,0 м/с.

Средняя скорость за вторую секунду движения (интервал от $t_1=1$ с до $t_2=2$ с):

$\langle v_2 \rangle = \frac{x(2) - x(1)}{2 - 1} = \frac{11,0 \text{ м} - 6,0 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 5,0 \text{ м/с}$

Ответ: 5,0 м/с.

Средняя скорость за третью секунду движения (интервал от $t_1=2$ с до $t_2=3$ с):

$\langle v_3 \rangle = \frac{x(3) - x(2)}{3 - 2} = \frac{18,0 \text{ м} - 11,0 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 7,0 \text{ м/с}$

Ответ: 7,0 м/с.