Номер 71, страница 22 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a = 0,40 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$l = 0,24 \, \text{км} = 240 \, \text{м}$

$\Delta t_1 = 20 \, \text{с}$

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Запишем уравнения движения для обоих автомобилей. Начало отсчета времени ($t=0$) совпадает с началом движения первого автомобиля. Ось $Ox$ направим вдоль движения автомобилей, а начало координат ($x=0$) — в точку старта.

Поскольку автомобили начинают движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), их координаты в любой момент времени $t$ описываются уравнениями:

Для первого автомобиля, который находится в движении время $t$:

$x_1(t) = \frac{at^2}{2}$

Второй автомобиль начинает движение на $\Delta t_1$ позже, поэтому время его движения составляет $t - \Delta t_1$. Его координата в момент времени $t$ (при условии $t \ge \Delta t_1$):

$x_2(t) = \frac{a(t - \Delta t_1)^2}{2}$

Расстояние $l$ между автомобилями равно разности их координат. Так как первый автомобиль выехал раньше, он всегда будет впереди:

$l = x_1(t) - x_2(t)$

Подставим выражения для координат:

$l = \frac{at^2}{2} - \frac{a(t - \Delta t_1)^2}{2}$

Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$ за скобки и раскроем квадрат разности:

$l = \frac{a}{2} (t^2 - (t - \Delta t_1)^2) = \frac{a}{2} (t^2 - (t^2 - 2t\Delta t_1 + (\Delta t_1)^2))$

$l = \frac{a}{2} (t^2 - t^2 + 2t\Delta t_1 - (\Delta t_1)^2) = \frac{a}{2} (2t\Delta t_1 - (\Delta t_1)^2)$

Теперь выразим искомое время $t$ (в задаче обозначенное как $\Delta t$):

$\frac{2l}{a} = 2t\Delta t_1 - (\Delta t_1)^2$

$2t\Delta t_1 = \frac{2l}{a} + (\Delta t_1)^2$

$t = \frac{1}{2\Delta t_1} \left(\frac{2l}{a} + (\Delta t_1)^2\right) = \frac{l}{a\Delta t_1} + \frac{\Delta t_1}{2}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{240 \, \text{м}}{0,40 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 20 \, \text{с}} + \frac{20 \, \text{с}}{2} = \frac{240}{8} \, \text{с} + 10 \, \text{с} = 30 \, \text{с} + 10 \, \text{с} = 40 \, \text{с}$

Таким образом, искомый промежуток времени $\Delta t$ равен 40 с.

Ответ: $\Delta t = 40 \, \text{с}$.