Номер 70, страница 22 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Ускорение автомобиля $a_1 = 0,50 \, \text{м/с}^2$

Начальная скорость автомобиля $v_{01} = 0$

Начальная скорость трамвая $v_0 = 18 \, \text{км/ч}$

Ускорение трамвая $a_2 = 0,30 \, \text{м/с}^2$

Переведем начальную скорость трамвая в систему СИ:

$v_0 = 18 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 5 \, \text{м/с}$

Найти:

Модуль скорости автомобиля $v_1$ в момент, когда он догонит трамвай.

Решение:

Примем за начало отсчета точку, из которой начал движение автомобиль, и момент времени, когда он тронулся ($t=0$). Движение обоих тел происходит вдоль одной прямой. Запишем уравнения движения (зависимость координаты от времени) для автомобиля и трамвая.

Для равноускоренного движения общее уравнение имеет вид: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Для автомобиля (тело 1): он начинает движение из состояния покоя ($v_{01}=0$) из начальной точки ($x_{01}=0$). Его уравнение движения:

$x_1(t) = \frac{a_1 t^2}{2}$

Для трамвая (тело 2): в начальный момент времени он находится в той же точке ($x_{02}=0$), но уже имеет скорость $v_0$ и движется с ускорением $a_2$. Его уравнение движения:

$x_2(t) = v_0 t + \frac{a_2 t^2}{2}$

Автомобиль догонит трамвай, когда их координаты станут равны, то есть $x_1(t) = x_2(t)$. Приравняем правые части уравнений:

$\frac{a_1 t^2}{2} = v_0 t + \frac{a_2 t^2}{2}$

Найдем из этого уравнения время $t$, через которое произойдет встреча. Перенесем члены с $t^2$ в левую часть:

$\frac{a_1 t^2}{2} - \frac{a_2 t^2}{2} = v_0 t$

$\frac{(a_1 - a_2)t^2}{2} = v_0 t$

Это уравнение имеет два решения: $t=0$ (начальный момент времени, когда они были в одной точке) и решение, которое мы ищем. Для его нахождения разделим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$\frac{(a_1 - a_2)t}{2} = v_0$

Выразим время $t$:

$t = \frac{2v_0}{a_1 - a_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в системе СИ:

$t = \frac{2 \cdot 5 \, \text{м/с}}{0,50 \, \text{м/с}^2 - 0,30 \, \text{м/с}^2} = \frac{10 \, \text{м/с}}{0,20 \, \text{м/с}^2} = 50 \, \text{с}$

Теперь, зная время движения до встречи, мы можем определить скорость автомобиля $v_1$ в этот момент. Скорость при равноускоренном движении из состояния покоя определяется формулой $v(t) = at$.

$v_1 = a_1 t$

Подставим значения $a_1$ и найденное время $t$:

$v_1 = 0,50 \, \text{м/с}^2 \cdot 50 \, \text{с} = 25 \, \text{м/с}$

Ответ: $25 \, \text{м/с}$.