Номер 79, страница 24 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 3,0 \text{ км} = 3000 \text{ м}$

$\langle v \rangle = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$\Delta t_1 = 60 \text{ с}$

$\Delta t_3 = 40 \text{ с}$

Найти:

$v_{max}$ - ?

Построить график $v(t)$

Решение:

Движение поезда состоит из трех этапов: равноускоренное движение (разгон), равномерное движение и равнозамедленное движение (торможение). Наибольшая скорость $v_{max}$ достигается в конце этапа разгона и поддерживается на этапе равномерного движения.

1. Найдем общее время движения поезда, используя формулу средней скорости:

$\langle v \rangle = \frac{l}{\Delta t_{общ}}$

Отсюда общее время движения:

$\Delta t_{общ} = \frac{l}{\langle v \rangle} = \frac{3000 \text{ м}}{15 \text{ м/с}} = 200 \text{ с}$

2. Общее время движения складывается из времени разгона $\Delta t_1$, времени равномерного движения $\Delta t_2$ и времени торможения $\Delta t_3$:

$\Delta t_{общ} = \Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3$

Найдем время равномерного движения:

$\Delta t_2 = \Delta t_{общ} - \Delta t_1 - \Delta t_3 = 200 \text{ с} - 60 \text{ с} - 40 \text{ с} = 100 \text{ с}$

3. Пройденный путь $l$ численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени $v(t)$. График представляет собой трапецию, основаниями которой являются $\Delta t_{общ}$ и $\Delta t_2$, а высотой - максимальная скорость $v_{max}$.

Весь путь можно представить как сумму путей на каждом из трех участков:

$l = l_1 + l_2 + l_3$

Путь на участке разгона (площадь треугольника): $l_1 = \frac{v_{max}}{2} \Delta t_1$

Путь на участке равномерного движения (площадь прямоугольника): $l_2 = v_{max} \Delta t_2$

Путь на участке торможения (площадь треугольника): $l_3 = \frac{v_{max}}{2} \Delta t_3$

Тогда общий путь равен:

$l = \frac{v_{max}}{2} \Delta t_1 + v_{max} \Delta t_2 + \frac{v_{max}}{2} \Delta t_3 = v_{max} \left( \frac{\Delta t_1 + \Delta t_3}{2} + \Delta t_2 \right)$

4. Выразим и найдем максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \frac{l}{\frac{\Delta t_1 + \Delta t_3}{2} + \Delta t_2}$

Подставим числовые значения:

$v_{max} = \frac{3000}{\frac{60 + 40}{2} + 100} = \frac{3000}{\frac{100}{2} + 100} = \frac{3000}{50 + 100} = \frac{3000}{150} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

5. Построим график зависимости скорости от времени $v(t)$. По оси абсцисс откладываем время $t$ в секундах, по оси ординат — скорость $v$ в м/с.

График состоит из трех участков:

• От $t_0 = 0$ до $t_1 = 60$ с: скорость линейно возрастает от $0$ до $v_{max} = 20$ м/с. Это отрезок прямой, соединяющий точки (0; 0) и (60; 20).
• От $t_1 = 60$ с до $t_2 = 60 + 100 = 160$ с: скорость постоянна и равна $v_{max} = 20$ м/с. Это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки (60; 20) и (160; 20).
• От $t_2 = 160$ с до $t_3 = 160 + 40 = 200$ с: скорость линейно убывает от $v_{max} = 20$ м/с до $0$. Это отрезок прямой, соединяющий точки (160; 20) и (200; 0).

В результате на графике получается трапеция с вершинами в точках (0; 0), (200; 0), (160; 20) и (60; 20).

Ответ: модуль наибольшей скорости поезда $v_{max} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. График зависимости проекции скорости от времени описан в решении.