Номер 1264, страница 286 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

1264. *К источнику постоянного напряжения подключены резистор сопротивлением $R = 1,0 \text{ кОм}$ и плоский конденсатор емкостью $C = 1,0 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$, соединенные между собой последовательно. Воздух в пространстве между пластинами конденсатора ионизируется рентгеновскими лучами. При этом за промежуток времени $\Delta t = 1,0 \text{ с}$ создается $N = 1,0 \cdot 10^{14}$ ионов в объеме $V = 1,0 \text{ см}^3$. Модуль заряда каждого иона равен элементарному заряду. Определите напряжение на резисторе, считая, что все ионы, не рекомбинируя, достигают пластин конденсатора, расстояние между которыми $d = 3,0 \text{ мм}$.

Дано:

$R = 1.0 \text{ кОм}$

$C = 1.0 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

$\Delta t = 1.0 \text{ с}$

$N = 1.0 \cdot 10^{14}$

$V = 1.0 \text{ см}^3$

$d = 3.0 \text{ мм}$

$e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (элементарный заряд)

$\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$ (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:

$R = 1.0 \cdot 10^3 \text{ Ом}$

$V = 1.0 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 1.0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

$d = 3.0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$U_R$ - напряжение на резисторе.

Решение:

Ионизация воздуха рентгеновскими лучами в пространстве между пластинами конденсатора приводит к созданию свободных носителей заряда – ионов. Под действием электрического поля в конденсаторе эти ионы начинают двигаться, создавая электрический ток, который называется ионизационным током. Поскольку резистор и конденсатор соединены последовательно, этот ток протекает и через резистор.

В установившемся режиме сила тока $I$ определяется суммарным зарядом ионов, создаваемых в объеме конденсатора $V_{кап}$ за единицу времени. По условию, за время $\Delta t$ в объеме $V$ создается $N$ ионов. Тогда скорость генерации ионов (число ионов, создаваемых в единицу времени в единице объема) равна:

$n = \frac{N}{V \cdot \Delta t}$

Полное число ионов, создаваемых в объеме конденсатора $V_{кап}$ за единицу времени, равно:

$\frac{dN_{полн}}{dt} = n \cdot V_{кап} = \frac{N \cdot V_{кап}}{V \cdot \Delta t}$

Поскольку заряд каждого иона по модулю равен элементарному заряду $e$, то ионизационный ток $I$ равен:

$I = \frac{dN_{полн}}{dt} \cdot e = \frac{N \cdot e \cdot V_{кап}}{V \cdot \Delta t}$

Объем плоского конденсатора $V_{кап}$ можно выразить через его параметры: $V_{кап} = S \cdot d$, где $S$ – площадь пластин, $d$ – расстояние между ними. Емкость плоского конденсатора определяется формулой $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}$. Для воздуха диэлектрическая проницаемость $\varepsilon \approx 1$. Отсюда можно выразить площадь пластин: $S = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_0}$.

Тогда объем конденсатора равен:

$V_{кап} = S \cdot d = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_0} \cdot d = \frac{C d^2}{\varepsilon_0}$

Подставим выражение для $V_{кап}$ в формулу для тока:

$I = \frac{N \cdot e}{V \cdot \Delta t} \cdot \frac{C d^2}{\varepsilon_0}$

Напряжение на резисторе $U_R$ найдем по закону Ома:

$U_R = I \cdot R = \frac{N \cdot e \cdot R \cdot C \cdot d^2}{V \cdot \Delta t \cdot \varepsilon_0}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$U_R = \frac{1.0 \cdot 10^{14} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1.0 \cdot 10^3 \text{ Ом} \cdot 1.0 \cdot 10^{-11} \text{ Ф} \cdot (3.0 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{1.0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 \cdot 1.0 \text{ с} \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}}$

$U_R = \frac{1.6 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3 \cdot 10^{-11} \cdot 9.0 \cdot 10^{-6}}{1.0 \cdot 10^{-6} \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}} \text{ В} = \frac{14.4 \cdot 10^{-19}}{8.85 \cdot 10^{-18}} \text{ В}$

$U_R \approx 0.1627 \text{ В} \approx 0.16 \text{ В}$

Ответ: $0.16 \text{ В}$.