Номер 6, страница 140 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

6. Электростатическое поле создано находящимися на расстоянии $r = 80 \text{ см}$ друг от друга двумя разноимёнными точечными зарядами, модули которых $|Q_1| = |Q_2| = 6,4 \text{ нКл}$. Определите модуль напряжённости и потенциал в точке пространства, находящейся на середине отрезка, соединяющего эти заряды.

Дано:

$r = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$

$|Q_1| = |Q_2| = 6,4 \text{ нКл} = 6,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Заряды разноимённые, поэтому примем $Q_1 = 6,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$ и $Q_2 = -6,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$.

Электрическая постоянная $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$.

Найти:

$E$ - модуль напряжённости поля.

$\phi$ - потенциал поля.

Решение:

Точка, в которой нужно найти напряжённость и потенциал, находится на середине отрезка, соединяющего заряды. Обозначим эту точку А. Расстояние от каждого из зарядов до точки А одинаково и равно половине общего расстояния $r$:

$d = \frac{r}{2} = \frac{0,8 \text{ м}}{2} = 0,4 \text{ м}$

Определение модуля напряжённости E

Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость результирующего поля в точке А равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$

Вектор напряжённости поля $\vec{E_1}$, создаваемого положительным зарядом $Q_1$, направлен от заряда. Вектор $\vec{E_2}$, создаваемый отрицательным зарядом $Q_2$, направлен к заряду. Поскольку точка А находится между зарядами, оба вектора $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ сонаправлены (направлены от $Q_1$ к $Q_2$). Поэтому модуль результирующего вектора напряжённости равен сумме модулей:

$E = E_1 + E_2$

Модуль напряжённости поля точечного заряда определяется формулой:

$E = k \frac{|Q|}{d^2}$

Так как модули зарядов $|Q_1|$ и $|Q_2|$ равны, и расстояния до точки А также равны, то модули напряжённостей $E_1$ и $E_2$ равны между собой:

$E_1 = k \frac{|Q_1|}{d^2}$ и $E_2 = k \frac{|Q_2|}{d^2}$, следовательно $E_1 = E_2$.

Тогда суммарная напряжённость:

$E = 2 \cdot E_1 = 2k \frac{|Q_1|}{d^2} = 2k \frac{|Q_1|}{(r/2)^2}$

Выполним вычисления:

$E = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}) \cdot \frac{6,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(0,4 \text{ м})^2} = 18 \cdot 10^9 \cdot \frac{6,4 \cdot 10^{-9}}{0,16} \frac{Н}{Кл}$

$E = 18 \cdot \frac{6,4}{0,16} \frac{Н}{Кл} = 18 \cdot 40 \frac{Н}{Кл} = 720 \frac{Н}{Кл}$

Единица измерения Н/Кл эквивалентна В/м.

Определение потенциала $\phi$

Потенциал поля также подчиняется принципу суперпозиции. Потенциал в точке А равен алгебраической (скалярной) сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом:

$\phi = \phi_1 + \phi_2$

Потенциал поля точечного заряда определяется формулой (знак заряда учитывается):

$\phi = k \frac{Q}{d}$

Потенциалы от зарядов $Q_1$ и $Q_2$ в точке А:

$\phi_1 = k \frac{Q_1}{d}$

$\phi_2 = k \frac{Q_2}{d}$

Суммарный потенциал:

$\phi = k \frac{Q_1}{d} + k \frac{Q_2}{d} = \frac{k}{d}(Q_1 + Q_2)$

Поскольку заряды разноимённые и равны по модулю, $Q_1 = -Q_2$, их сумма равна нулю:

$Q_1 + Q_2 = 6,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} + (-6,4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}) = 0$

Следовательно, потенциал в точке А равен нулю:

$\phi = \frac{k}{d} \cdot 0 = 0 \text{ В}$

Ответ: модуль напряжённости в середине отрезка $E = 720$ В/м, потенциал $\phi = 0$ В.