Номер 6, страница 18 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

6. Английский физик Джон Уильям Стретт, лорд Рэлей (1842–1919), предложил такой способ оценки размеров молекул: на поверхность воды в широком сосуде он капнул каплю оливкового масла объёмом $V = 8.9 \cdot 10^{-10}\ \text{м}^3$ и плотностью $\rho = 9.0 \cdot 10^2 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Капля растеклась, образовав плёнку площадью $S = 0.55\ \text{м}^2$. Определите по этим данным массу и диаметр молекулы оливкового масла, приняв толщину плёнки равной длине цилиндрических по форме молекул масла (рис. 13). Молярную массу оливкового масла примите $M = 0.28 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$.

Рис. 13

Дано:

Объём капли оливкового масла: $V = 8.9 \cdot 10^{-10} \text{ м}^3$

Плотность оливкового масла: $\rho = 9.0 \cdot 10^2 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Площадь плёнки: $S = 0.55 \text{ м}^2$

Молярная масса оливкового масла: $M = 0.28 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

$m_0$ - масса одной молекулы оливкового масла

$d$ - диаметр одной молекулы оливкового масла

Решение:

Определение массы молекулы оливкового масла

Массу одной молекулы ($m_0$) можно найти, зная молярную массу вещества ($M$) и постоянную Авогадро ($N_A$). Молярная масса — это масса одного моля вещества, а постоянная Авогадро — это количество молекул в одном моле.

Формула для расчёта массы одной молекулы:

$m_0 = \frac{M}{N_A}$

Подставим известные значения:

$m_0 = \frac{0.28 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{6.02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 0.04651 \cdot 10^{-23} \text{ кг} \approx 4.7 \cdot 10^{-25} \text{ кг}$

Ответ: Масса одной молекулы оливкового масла приблизительно равна $4.7 \cdot 10^{-25} \text{ кг}$.

Определение диаметра молекулы оливкового масла

Согласно условию задачи, капля масла растекается по поверхности воды, образуя тонкую плёнку. Будем считать, что эта плёнка представляет собой мономолекулярный слой, то есть её толщина равна длине одной молекулы ($l$), а сами молекулы имеют форму цилиндров и расположены перпендикулярно поверхности воды (как показано на рис. 13).

1. Найдём толщину плёнки, которая, по предположению, равна длине молекулы ($l$). Объём плёнки равен объёму исходной капли масла. Объём плёнки можно выразить как произведение её площади ($S$) на толщину ($l$):

$V = S \cdot l$

Отсюда выразим толщину (длину молекулы):

$l = \frac{V}{S} = \frac{8.9 \cdot 10^{-10} \text{ м}^3}{0.55 \text{ м}^2} \approx 1.62 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

2. Найдём объём одной молекулы ($V_0$). Его можно вычислить, разделив массу одной молекулы ($m_0$), найденную ранее, на плотность масла ($\rho$):

$V_0 = \frac{m_0}{\rho} = \frac{4.7 \cdot 10^{-25} \text{ кг}}{9.0 \cdot 10^2 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 5.22 \cdot 10^{-28} \text{ м}^3$

3. Объём молекулы, имеющей форму цилиндра, также можно выразить через её длину ($l$) и диаметр ($d$):

$V_0 = l \cdot A_{осн} = l \cdot \frac{\pi d^2}{4}$

где $A_{осн}$ - площадь основания цилиндра.

4. Выразим из последней формулы диаметр $d$ и подставим вычисленные значения $V_0$ и $l$:

$d^2 = \frac{4 V_0}{\pi l}$

$d = \sqrt{\frac{4 V_0}{\pi l}} = \sqrt{\frac{4 \cdot (5.22 \cdot 10^{-28} \text{ м}^3)}{\pi \cdot (1.62 \cdot 10^{-9} \text{ м})}} \approx \sqrt{\frac{20.88 \cdot 10^{-28} \text{ м}^3}{5.09 \cdot 10^{-9} \text{ м}}} \approx \sqrt{4.10 \cdot 10^{-19} \text{ м}^2}$

$d \approx \sqrt{41.0 \cdot 10^{-20} \text{ м}^2} \approx 6.4 \cdot 10^{-10} \text{ м}$

Ответ: Диаметр одной молекулы оливкового масла приблизительно равен $6.4 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.