Номер 2, страница 23 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

2. В одном из двух одинаковых сосудов находится кислород, а в другом — азот. Число молекул каждого газа и средние значения квадратов скоростей их теплового движения одинаковые. Определите давление азота, если давление кислорода $p_1 = 32 \text{ кПа}$.

Дано:

Газ 1 - кислород ($O_2$)

Газ 2 - азот ($N_2$)

Объемы сосудов: $V_1 = V_2 = V$

Число молекул: $N_1 = N_2 = N$

Средние квадраты скоростей: $\langle v_1^2 \rangle = \langle v_2^2 \rangle = \langle v^2 \rangle$

Давление кислорода: $p_1 = 32$ кПа

В системе СИ:

$p_1 = 32 \times 10^3$ Па

Найти:

Давление азота $p_2$.

Решение:

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) связывает давление газа $p$ с его микроскопическими параметрами:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $n$ — концентрация молекул ($n = N/V$), $m_0$ — масса одной молекулы, а $\langle v^2 \rangle$ — среднее значение квадрата скорости теплового движения молекул.

Подставим выражение для концентрации в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m_0 \langle v^2 \rangle$

Запишем это уравнение для каждого из газов:

Для кислорода (газ 1): $p_1 = \frac{1}{3} \frac{N_1}{V_1} m_{01} \langle v_1^2 \rangle$

Для азота (газ 2): $p_2 = \frac{1}{3} \frac{N_2}{V_2} m_{02} \langle v_2^2 \rangle$

Согласно условию задачи, сосуды одинаковы ($V_1 = V_2$), число молекул газов равно ($N_1 = N_2$), и средние значения квадратов скоростей их молекул также одинаковы ($\langle v_1^2 \rangle = \langle v_2^2 \rangle$).

Чтобы найти давление азота $p_2$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{\frac{1}{3} \frac{N_2}{V_2} m_{02} \langle v_2^2 \rangle}{\frac{1}{3} \frac{N_1}{V_1} m_{01} \langle v_1^2 \rangle}$

Учитывая равенство объемов, числа молекул и средних квадратов скоростей, мы можем сократить эти величины в выражении:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{m_{02}}{m_{01}}$

Отношение масс молекул можно заменить отношением их молярных масс ($M$), так как масса одной молекулы $m_0$ связана с молярной массой через число Авогадро $N_A$ по формуле $m_0 = M/N_A$:

$\frac{m_{02}}{m_{01}} = \frac{M_2/N_A}{M_1/N_A} = \frac{M_2}{M_1}$

Таким образом, соотношение давлений равно соотношению молярных масс:

$\frac{p_2}{p_1} = \frac{M_2}{M_1}$

Отсюда выражаем искомое давление азота $p_2$:

$p_2 = p_1 \cdot \frac{M_2}{M_1}$

Молярная масса кислорода ($O_2$) составляет $M_1 \approx 32 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Молярная масса азота ($N_2$) составляет $M_2 \approx 28 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$p_2 = 32 \text{ кПа} \cdot \frac{28 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}}{32 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}} = 32 \cdot \frac{28}{32} \text{ кПа} = 28 \text{ кПа}$

Ответ: давление азота равно 28 кПа.