Номер 5, страница 23 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

5. В баллоне вместимостью $V = 2,5 \text{ м}^3$ находится гелий массой $m = 3,0 \text{ кг.}$ Определите среднее значение квадрата скорости теплового движения атомов гелия, если его давление $p = 100 \text{ кПа.}$

Дано:

Вместимость баллона (объем) $V = 2,5 \, \text{м}^3$
Масса гелия $m = 3,0 \, \text{кг}$
Давление $p = 100 \, \text{кПа}$

$p = 100 \, \text{кПа} = 100 \cdot 10^3 \, \text{Па} = 10^5 \, \text{Па}$

Найти:

$\langle v^2 \rangle$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории (МКТ) идеального газа, которое связывает давление газа с микроскопическими параметрами его атомов:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

где $p$ — давление газа, $n$ — концентрация атомов, $m_0$ — масса одного атома, а $\langle v^2 \rangle$ — среднее значение квадрата скорости теплового движения атомов.

Концентрация атомов $n$ определяется как отношение числа атомов $N$ к объему $V$, который они занимают: $n = \frac{N}{V}$.

Произведение концентрации $n$ на массу одного атома $m_0$ можно выразить через общую массу газа $m$ и его объем $V$. Общая масса газа $m$ равна произведению числа атомов $N$ на массу одного атома $m_0$: $m = N m_0$. Тогда:

$n m_0 = \frac{N}{V} m_0 = \frac{N m_0}{V} = \frac{m}{V}$

Эта величина представляет собой плотность газа $\rho$. Подставим это выражение в основное уравнение МКТ:

$p = \frac{1}{3} \frac{m}{V} \langle v^2 \rangle$

Теперь выразим из этой формулы искомую величину — средний квадрат скорости $\langle v^2 \rangle$:

$3pV = m \langle v^2 \rangle$

$\langle v^2 \rangle = \frac{3pV}{m}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3 \cdot 10^5 \, \text{Па} \cdot 2,5 \, \text{м}^3}{3,0 \, \text{кг}} = \frac{3 \cdot 2,5 \cdot 10^5}{3,0} \, \frac{\text{Па} \cdot \text{м}^3}{\text{кг}} = 2,5 \cdot 10^5 \, \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$

Ответ: среднее значение квадрата скорости теплового движения атомов гелия равно $2,5 \cdot 10^5 \, (\text{м/с})^2$.