Номер 159, страница 49 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

159. Вдоль струны распространяется поперечная гармоническая волна длиной $\lambda = 63 \text{ см}$ со скоростью, модуль которой $v = 40 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Определите амплитуду колебаний точек струны, если модуль максимального ускорения точек струны $a_{\text{max}} = 0,32 \frac{\text{км}}{\text{с}^2}$.

Дано:

Длина волны $ \lambda = 63 \text{ см} $

Скорость волны $ v = 40 \frac{\text{м}}{\text{с}} $

Максимальное ускорение точек струны $ a_{max} = 0,32 \frac{\text{км}}{\text{с}^2} $

Переведем величины в систему СИ:

$ \lambda = 63 \text{ см} = 0,63 \text{ м} $

$ v = 40 \frac{\text{м}}{\text{с}} $

$ a_{max} = 0,32 \frac{\text{км}}{\text{с}^2} = 0,32 \cdot 1000 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 320 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} $

Найти:

Амплитуда колебаний $ A $.

Решение:

При распространении поперечной гармонической волны каждая точка струны совершает гармонические колебания. Ускорение точки при таких колебаниях связано с её смещением $ y $ от положения равновесия как $ a = -\omega^2 y $, где $ \omega $ — циклическая частота колебаний.

Модуль максимального ускорения $ a_{max} $ достигается при максимальном смещении, равном амплитуде $ A $. Таким образом, связь между максимальным ускорением и амплитудой выражается формулой:

$ a_{max} = A \omega^2 $

Из этой формулы мы можем выразить искомую амплитуду:

$ A = \frac{a_{max}}{\omega^2} $

Циклическая частота $ \omega $ связана со скоростью распространения волны $ v $ и длиной волны $ \lambda $ через линейную частоту $ f $.

Скорость волны определяется как $ v = \lambda f $, откуда линейная частота $ f = \frac{v}{\lambda} $.

Циклическая частота связана с линейной по формуле $ \omega = 2\pi f $. Подставив сюда выражение для $ f $, получим:

$ \omega = 2\pi \frac{v}{\lambda} $

Теперь подставим это выражение для циклической частоты в формулу для амплитуды:

$ A = \frac{a_{max}}{\left(2\pi \frac{v}{\lambda}\right)^2} = \frac{a_{max} \lambda^2}{4\pi^2 v^2} $

Мы получили итоговую формулу, в которую можно подставить известные значения в системе СИ:

$ A = \frac{320 \cdot (0,63)^2}{4\pi^2 \cdot (40)^2} = \frac{320 \cdot 0,3969}{4\pi^2 \cdot 1600} = \frac{127,008}{6400\pi^2} \approx \frac{0,019845}{9,87} \approx 0,00201 \text{ м} $

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных) и переводя в миллиметры, получаем:

$ A \approx 0,0020 \text{ м} = 2,0 \text{ мм} $

Ответ: амплитуда колебаний точек струны составляет примерно $2,0 \text{ мм}$.