Номер 162, страница 49 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

162. Из пункта A в пункт B дважды был послан звуковой сигнал, частота которого $v = 50 \text{ Гц}$, причем в первый раз скорость звука была $v_1 = 330 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Во второй раз температура воздуха стала выше, поэтому скорость звука повысилась до $v_2 = 340 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Число волн, укладывающихся на расстоянии AB, во второй раз оказалось, как и в первый раз, целым, но уменьшилось на две волны. Определите расстояние между пунктами A и B.

Дано:

Частота звукового сигнала $\nu = 50$ Гц

Скорость звука в первый раз $v_1 = 330$ м/с

Скорость звука во второй раз $v_2 = 340$ м/с

Разница в числе волн $N_1 - N_2 = 2$

Найти:

Расстояние между пунктами A и B, $L$ - ?

Решение:

Длина звуковой волны $\lambda$ связана со скоростью ее распространения $v$ и частотой $\nu$ соотношением $\lambda = v/\nu$. Частота сигнала, определяемая источником, в обоих случаях одинакова.

В первом случае длина волны была равна $\lambda_1 = v_1/\nu$.

Во втором случае длина волны стала $\lambda_2 = v_2/\nu$.

Расстояние $L$ между пунктами A и B можно выразить через число волн $N$, укладывающихся на этом расстоянии, и длину волны $\lambda$ по формуле $L = N \cdot \lambda$.

Для первого случая запишем: $L = N_1 \cdot \lambda_1 = N_1 \frac{v_1}{\nu}$.

Для второго случая: $L = N_2 \cdot \lambda_2 = N_2 \frac{v_2}{\nu}$.

По условию задачи, число волн во второй раз оказалось на две меньше, чем в первый: $N_2 = N_1 - 2$.

Поскольку расстояние $L$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части выражений для $L$:

$N_1 \frac{v_1}{\nu} = N_2 \frac{v_2}{\nu}$

Подставим $N_2 = N_1 - 2$ в это уравнение:

$N_1 \frac{v_1}{\nu} = (N_1 - 2) \frac{v_2}{\nu}$

Сократим на частоту $\nu$ обе части уравнения, так как $\nu \neq 0$:

$N_1 v_1 = (N_1 - 2) v_2$

Раскроем скобки и выразим $N_1$:

$N_1 v_1 = N_1 v_2 - 2 v_2$

$2 v_2 = N_1 v_2 - N_1 v_1$

$2 v_2 = N_1 (v_2 - v_1)$

$N_1 = \frac{2 v_2}{v_2 - v_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$N_1 = \frac{2 \cdot 340 \text{ м/с}}{340 \text{ м/с} - 330 \text{ м/с}} = \frac{680 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}} = 68$

Мы получили целое число волн, что соответствует условию.

Теперь, зная число волн $N_1$, мы можем вычислить искомое расстояние $L$:

$L = N_1 \frac{v_1}{\nu} = 68 \cdot \frac{330 \text{ м/с}}{50 \text{ Гц}} = 68 \cdot 6.6 \text{ м} = 448.8 \text{ м}$

Для проверки можно рассчитать расстояние, используя данные для второго случая. Число волн во втором случае $N_2 = N_1 - 2 = 68 - 2 = 66$.

$L = N_2 \frac{v_2}{\nu} = 66 \cdot \frac{340 \text{ м/с}}{50 \text{ Гц}} = 66 \cdot 6.8 \text{ м} = 448.8 \text{ м}$

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 448.8 м.