Номер 168, страница 54 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

168. В электрической цепи, изображенной на рисунке 40, показаны знаки заряда пластин конденсатора C до замыкания ключа K. В момент времени $t_0 = 0$ с ключ замкнули. Положительное направление тока указано стрелкой. Какой цифрой на рисунке 41 обозначен:

а) график зависимости силы тока в цепи от времени;

б) график зависимости разности потенциалов $(\varphi_A - \varphi_B)$ на конденсаторе от времени? Обоснуйте ответы.

Рис. 40

Рис. 41

а) график зависимости силы тока в цепи от времени

В начальный момент времени $t=0$ ключ замыкают. Поскольку конденсатор был полностью заряжен, он начинает разряжаться. В идеальном LC-контуре (колебательном контуре) сила тока в этот момент равна нулю, так как катушка индуктивности препятствует мгновенному нарастанию тока. Следовательно, график зависимости силы тока от времени должен начинаться из начала координат, то есть из точки $(0, 0)$. Этому условию удовлетворяют графики 1 и 3.

После замыкания ключа положительные заряды с верхней обкладки конденсатора (точка A) начинают двигаться через катушку к нижней обкладке (точка B). Направление этого разрядного тока (от A к B через катушку) противоположно положительному направлению тока, указанному стрелкой на рисунке 40. Это означает, что сразу после момента $t=0$ значение силы тока $I$ будет отрицательным. Этому условию удовлетворяет график 3, который начинается в нуле и сразу уходит в отрицательную область.

С математической точки зрения, заряд на конденсаторе изменяется по закону $q(t) = Q_{max} \cos(\omega t)$, поскольку в начальный момент он максимален. Сила тока в цепи, по определению, есть производная заряда по времени: $I(t) = q'(t)$. Важно учесть направление. Положительное направление тока, указанное стрелкой, соответствует притоку заряда на пластину A. Таким образом, $I(t) = \frac{dq(t)}{dt}$. Дифференцируя, получаем: $I(t) = \frac{d}{dt}(Q_{max} \cos(\omega t)) = -\omega Q_{max} \sin(\omega t) = -I_{max} \sin(\omega t)$. Эта функция описывается графиком 3 (отрицательный синус).

Ответ: график 3.

б) график зависимости разности потенциалов $(\varphi_A - \varphi_B)$ на конденсаторе от времени

В начальный момент времени $t=0$ конденсатор полностью заряжен. По условию, верхняя обкладка (подключенная к точке A) заряжена положительно, а нижняя (подключенная к точке B) — отрицательно. Это означает, что потенциал точки A выше потенциала точки B, то есть разность потенциалов $U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$ положительна. Так как в этот момент заряд на конденсаторе максимален, то и разность потенциалов на нем также имеет максимальное положительное значение.

Рассмотрим предложенные графики. Только график 2 начинается в момент времени $t=0$ с максимального положительного значения. В дальнейшем, в процессе электромагнитных колебаний в контуре, разность потенциалов будет изменяться по гармоническому закону (в данном случае, по закону косинуса): $U(t) = U_{max} \cos(\omega t)$.

Ответ: график 2.