Номер 161, страница 49 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

161. Путевой обходчик, приложив ухо к рельсу, услышал звук начавшего движение поезда, а через промежуток времени $\Delta t = 2 \text{ с}$ до него донесся гудок локомотива при отправлении. На каком расстоянии от станции находился обходчик? Скорость звуковых волн в воздухе $v_1 = 0,33 \frac{\text{км}}{\text{с}}$, в железе — $v_2 = 5 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Дано:

$\Delta t = 2 \text{ с}$
$v_{1} = 0,33 \frac{км}{с}$ (скорость звука в воздухе)
$v_{2} = 5 \frac{км}{с}$ (скорость звука в железе)

$v_{1} = 0,33 \cdot 1000 \frac{м}{с} = 330 \frac{м}{с}$
$v_{2} = 5 \cdot 1000 \frac{м}{с} = 5000 \frac{м}{с}$

Найти:

$L$ — ?

Решение:

Пусть $L$ — искомое расстояние от станции до обходчика. Звук от поезда (гудок и звук движения) возникает в один и тот же момент времени и распространяется до обходчика двумя путями: по воздуху и по рельсам.

Время, за которое звук дойдет до обходчика по воздуху, определяется по формуле:
$t_{1} = \frac{L}{v_{1}}$

Время, за которое звук дойдет до обходчика по рельсам (железу), определяется по формуле:
$t_{2} = \frac{L}{v_{2}}$

Поскольку скорость звука в железе ($v_{2}$) значительно выше скорости звука в воздухе ($v_{1}$), звук по рельсам достигнет обходчика раньше. Согласно условию задачи, звук по воздуху доносится на промежуток времени $\Delta t$ позже, чем звук по рельсам. Следовательно, разница во времени распространения звука составляет:
$\Delta t = t_{1} - t_{2}$

Подставим выражения для времени $t_{1}$ и $t_{2}$ в это уравнение:
$\Delta t = \frac{L}{v_{1}} - \frac{L}{v_{2}}$

Для того чтобы найти расстояние $L$, вынесем его за скобки:
$\Delta t = L \cdot (\frac{1}{v_{1}} - \frac{1}{v_{2}})$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$\Delta t = L \cdot \frac{v_{2} - v_{1}}{v_{1} \cdot v_{2}}$

Из полученного выражения выразим расстояние $L$:
$L = \frac{\Delta t \cdot v_{1} \cdot v_{2}}{v_{2} - v_{1}}$

Подставим числовые значения величин в систему СИ и произведем вычисления:
$L = \frac{2 \text{ с} \cdot 330 \frac{м}{с} \cdot 5000 \frac{м}{с}}{5000 \frac{м}{с} - 330 \frac{м}{с}} = \frac{3300000 \frac{м^2}{с}}{4670 \frac{м}{с}} \approx 706,64 \text{ м}$

Округлив результат, получим искомое расстояние.

Ответ: $L \approx 707 \text{ м}$.