Номер 158, страница 48 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

158. *В некоторой среде распространяется поперечная гармоническая волна, модуль скорости которой $v = 40 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Амплитуда колебаний точек среды $x_{\text{max}} = 2,0 \text{ мм}$, а модуль их максимального ускорения $a_{\text{max}} = 0,32 \frac{\text{КМ}}{\text{с}^2}$. Определите длину волны.

Дано:

Модуль скорости волны: $v = 40 \frac{м}{с}$
Амплитуда колебаний: $x_{max} = 2,0 \text{ мм}$
Модуль максимального ускорения: $a_{max} = 0,32 \frac{км}{с^2}$

Переведем величины в систему СИ:
$x_{max} = 2,0 \text{ мм} = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$a_{max} = 0,32 \frac{км}{с^2} = 0,32 \cdot 10^3 \frac{м}{с^2} = 320 \frac{м}{с^2}$

Найти:

Длину волны $\lambda$.

Решение:

Колебания точек среды при распространении поперечной гармонической волны являются гармоническими. Уравнение смещения точки от положения равновесия можно записать в виде: $x(t) = x_{max} \sin(\omega t + \phi_0)$, где $x_{max}$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - циклическая (круговая) частота, $t$ - время, а $\phi_0$ - начальная фаза.

Ускорение точки среды - это вторая производная от смещения по времени: $a(t) = x''(t) = -\omega^2 x_{max} \sin(\omega t + \phi_0) = -\omega^2 x(t)$

Модуль максимального ускорения $a_{max}$ достигается при максимальном смещении, когда $|x(t)| = x_{max}$. Таким образом, $a_{max} = \omega^2 x_{max}$

Из этого соотношения можно выразить циклическую частоту $\omega$: $\omega = \sqrt{\frac{a_{max}}{x_{max}}}$

Длина волны $\lambda$, скорость ее распространения $v$ и циклическая частота $\omega$ связаны соотношением: $\lambda = v \cdot T = v \cdot \frac{2\pi}{\omega}$, где $T$ - период колебаний.

Подставим выражение для циклической частоты $\omega$ в формулу для длины волны: $\lambda = 2\pi v \sqrt{\frac{x_{max}}{a_{max}}}$

Теперь подставим числовые значения величин в системе СИ: $\lambda = 2\pi \cdot 40 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{320 \frac{м}{с^2}}} = 80\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-3}}{32 \cdot 10}} \text{ м} = 80\pi \sqrt{\frac{1}{16} \cdot 10^{-4}} \text{ м}$

Выполним вычисления: $\lambda = 80\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot 10^{-2} \text{ м} = 20\pi \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,2\pi \text{ м}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14$: $\lambda \approx 0,2 \cdot 3,14 \text{ м} = 0,628 \text{ м} \approx 0,63 \text{ м}$

Ответ: $\lambda = 0,2\pi \text{ м} \approx 0,63 \text{ м}$.