Номер 163, страница 49 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

163. Ультразвуковой измеритель роста человека, установленный над головой на заданной высоте, излучил ультразвуковой импульс, который отразился от человека и был принят измерителем через промежуток времени $t$ после излучения. Скорость звука в воздухе $v=330\frac{\text{м}}{\text{с}}$. Определите погрешность измерения роста, если погрешность измерения времени $\Delta t=15$ мкс.

Дано:

Скорость звука в воздухе, $v = 330 \frac{м}{с}$

Погрешность измерения времени, $\Delta t = 15 \text{ мкс}$

Перевод в систему СИ:
$\Delta t = 15 \text{ мкс} = 15 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Найти:

Погрешность измерения роста, $\Delta h$

Решение:

Ультразвуковой измеритель определяет расстояние от прибора до головы человека. Для этого он измеряет время $t$, за которое ультразвуковой импульс проходит путь до человека и обратно. Если расстояние от измерителя до головы человека равно $h$, то полный путь, пройденный импульсом, составляет $S = 2h$.

Этот путь звук проходит со скоростью $v$ за время $t$. Связь между этими величинами описывается формулой равномерного движения:

$S = v \cdot t$

Подставим в эту формулу выражение для пути $S = 2h$:

$2h = v \cdot t$

Из этой формулы можно выразить расстояние $h$:

$h = \frac{v \cdot t}{2}$

Погрешность измерения расстояния $\Delta h$ возникает из-за погрешности измерения времени $\Delta t$. Предполагая, что скорость звука $v$ задана точно, связь между погрешностями будет аналогична связи между самими величинами:

$\Delta h = \frac{v \cdot \Delta t}{2}$

Теперь подставим заданные числовые значения в формулу для погрешности:

$\Delta h = \frac{330 \frac{м}{с} \cdot 15 \cdot 10^{-6} \text{ с}}{2} = 165 \frac{м}{с} \cdot 15 \cdot 10^{-6} \text{ с} = 2475 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Для удобства восприятия переведем результат в миллиметры, зная, что $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$:

$\Delta h = 2475 \cdot 10^{-6} \text{ м} \cdot 1000 \frac{мм}{м} = 2,475 \text{ мм}$

Ответ: погрешность измерения роста составляет 2,475 мм.