Номер 171, страница 55 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

171. В идеальном колебательном контуре, изображенном на рисунке 46, происходят свободные электромагнитные колебания. На рисунке 47 представлен график зависимости разности потенциалов на конденсаторе от времени.

Укажите номера точек на графике, соответствующие моментам времени, когда:

а) ток протекает в направлении, указанном стрелкой;

б) сила тока в цепи равна нулю;

в) энергия катушки максимальна.

Рис. 46

$\varphi_A$, $\varphi_B$, $C$, $L$

Рис. 47

$\varphi_A - \varphi_B$, $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$, $t$

Решение

В идеальном колебательном контуре происходят гармонические колебания. На графике показана зависимость разности потенциалов (напряжения) на конденсаторе $U(t) = \varphi_A - \varphi_B$ от времени. Заряд на обкладке A конденсатора связан с напряжением соотношением $q_A = C \cdot U(t)$, где $C$ - электроемкость конденсатора.

Сила тока $I$ в контуре — это скорость изменения заряда. Направление тока, указанное стрелкой на рисунке 46, соответствует движению положительного заряда от обкладки A через катушку к обкладке B. Это означает, что ток в этом направлении течет, когда заряд $q_A$ на обкладке A уменьшается. Математически это выражается как $I = -\frac{dq_A}{dt}$.

Поскольку $q_A = C \cdot U(t)$, то сила тока $I(t) = -C \frac{dU(t)}{dt}$. Таким образом, сила тока пропорциональна скорости изменения напряжения на конденсаторе, взятой с обратным знаком. На графике производная $\frac{dU(t)}{dt}$ представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой $U(t)$.

а) ток протекает в направлении, указанном стрелкой

Ток течет в указанном направлении, когда его значение $I$ положительно. Из формулы $I(t) = -C \frac{dU(t)}{dt}$ следует, что это происходит, когда производная $\frac{dU(t)}{dt} < 0$. На графике это соответствует участкам, где функция $U(t)$ убывает, то есть где касательная к графику имеет отрицательный наклон.

Анализируя график, видим, что напряжение убывает (график идет вниз) на участках, включающих точки 1, 7 и 8. На участках, включающих точки 3, 4 и 5, напряжение возрастает. В точках 2 и 6 наклон равен нулю. Следовательно, ток течет в указанном стрелкой направлении в моменты времени, соответствующие точкам 1, 7, 8.

Ответ: 1, 7, 8.

б) сила тока в цепи равна нулю

Сила тока $I$ равна нулю, когда производная напряжения по времени равна нулю: $\frac{dU(t)}{dt} = 0$. На графике это соответствует точкам экстремума (максимума и минимума), где касательная к графику горизонтальна.

Такими точками на графике являются точка 2 (минимум напряжения) и 6 (максимум напряжения). В эти моменты конденсатор полностью заряжен (или перезаряжен), и его разрядка/зарядка на мгновение прекращается. В эти моменты энергия электрического поля конденсатора $W_C = \frac{CU^2}{2}$ максимальна, а энергия магнитного поля катушки $W_L = \frac{LI^2}{2}$ равна нулю.

Ответ: 2, 6.

в) энергия катушки максимальна

Энергия катушки $W_L = \frac{LI^2}{2}$ максимальна, когда сила тока $I$ достигает своего максимального по модулю значения. Согласно закону сохранения энергии в идеальном контуре, это происходит в моменты, когда энергия конденсатора $W_C = \frac{CU^2}{2}$ равна нулю.

Энергия конденсатора равна нулю, когда напряжение на нем $U=0$. На графике это соответствует точкам пересечения с осью времени. Такими точками являются 4 и 8. В эти моменты конденсатор полностью разряжен, и вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки. Также в этих точках модуль наклона графика максимален, что соответствует максимальному по модулю значению тока.

Ответ: 4, 8.