Номер 176, страница 57 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

176. Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре $v = 10 \text{ кГц}$. Определите индуктивность катушки, если емкость конденсатора, включенного в контур, $C = 50 \text{ нФ}$.

Дано:

$\nu = 10 \text{ кГц}$
$C = 50 \text{ нФ}$

$\nu = 10 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 10^4 \text{ Гц}$
$C = 50 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Найти:

$L - ?$

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре (контуре Томсона) связана с индуктивностью катушки $L$ и емкостью конденсатора $C$ по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Для того чтобы найти индуктивность $L$, выразим ее из этой формулы. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$\nu^2 = \frac{1}{(2\pi\sqrt{LC})^2} = \frac{1}{4\pi^2LC}$

Теперь выразим индуктивность $L$:

$L = \frac{1}{4\pi^2\nu^2C}$

Подставим известные значения в систему СИ и произведем вычисления:

$L = \frac{1}{4\pi^2(10^4 \text{ Гц})^2 \cdot 5 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = \frac{1}{4\pi^2 \cdot 10^8 \text{ Гц}^2 \cdot 5 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = \frac{1}{20\pi^2} \text{ Гн}$

Используя приближенное значение $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$L \approx \frac{1}{20 \cdot 9.87} \text{ Гн} \approx \frac{1}{197.4} \text{ Гн} \approx 0.00507 \text{ Гн}$

Переведем результат в миллигенри (мГн):

$0.00507 \text{ Гн} = 5.07 \text{ мГн}$

Ответ: индуктивность катушки составляет приблизительно $5.07 \text{ мГн}$.