Номер 183, страница 58 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

183. Идеальный колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $L = 1,0 \text{ мГн}$ и конденсатора, обкладками которого являются две круглые пластины радиусом $r = 9,4 \text{ мм}$ каждая. Расстояние между пластинами $d = 2,0 \text{ мм}$. Определите период свободных электромагнитных колебаний в контуре. Пространство между пластинами заполнено диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого $\varepsilon = 3,0$.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 1,0 \text{ мГн}$

Радиус пластин конденсатора, $r = 9,4 \text{ мм}$

Расстояние между пластинами, $d = 2,0 \text{ мм}$

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $\epsilon = 3,0$

Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Перевод в систему СИ:

$L = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$r = 9,4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$d = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Период свободных электромагнитных колебаний, $T$ - ?

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном LC-контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Индуктивность $L$ известна из условия. Емкость $C$ плоского конденсатора, пластины которого представляют собой два диска, можно рассчитать по формуле:

$C = \frac{\epsilon\epsilon_0 S}{d}$

где $S$ - площадь одной пластины. Так как пластины круглые, их площадь равна:

$S = \pi r^2$

Подставим выражение для площади в формулу для емкости:

$C = \frac{\epsilon\epsilon_0 \pi r^2}{d}$

Теперь подставим полученное выражение для емкости $C$ в формулу Томсона, чтобы получить итоговую расчетную формулу:

$T = 2\pi\sqrt{L \frac{\epsilon\epsilon_0 \pi r^2}{d}}$

Рассчитаем значение емкости конденсатора:

$C = \frac{3,0 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}} \cdot \pi \cdot (9,4 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2}{2,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx \frac{3,0 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 3,14 \cdot 88,36 \cdot 10^{-6}}{2,0 \cdot 10^{-3}} \text{ Ф} \approx 3,68 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Теперь рассчитаем период колебаний, подставив значения в формулу Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 3,68 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{3,68 \cdot 10^{-15}} \text{ с}$

$T \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,368 \cdot 10^{-14}} \text{ с} \approx 6,28 \cdot 0,607 \cdot 10^{-7} \text{ с} \approx 3,81 \cdot 10^{-7} \text{ с}$

С учетом точности исходных данных, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $T \approx 3,8 \cdot 10^{-7}$ с.