Номер 184, страница 59 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

184. После увеличения емкости конденсатора идеального колебательного контура на $\Delta C = 0,16 \text{ мкФ}$ частота собственных электромагнитных колебаний уменьшилась в $n = 3$ раза. Определите начальную емкость конденсатора, если индуктивность катушки осталась прежней.

Дано:

$\Delta C = 0,16$ мкФ

$n = 3$

Перевод в систему СИ:

$\Delta C = 0,16 \cdot 10^{-6}$ Ф

Найти:

$C_1$ - начальная емкость конденсатора.

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется по формуле Томсона. Связь частоты $\nu$ с индуктивностью $L$ и емкостью $C$ выглядит следующим образом:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Пусть начальная емкость конденсатора равна $C_1$, а индуктивность катушки - $L$. Тогда начальная частота колебаний $\nu_1$ равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

После увеличения емкости на $\Delta C$, новая емкость $C_2$ стала равна:

$C_2 = C_1 + \Delta C$

Новая частота колебаний $\nu_2$ при этом будет:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + \Delta C)}}$

По условию задачи, частота колебаний уменьшилась в $n$ раз, то есть:

$\nu_2 = \frac{\nu_1}{n}$

Подставим в это соотношение выражения для частот $\nu_1$ и $\nu_2$:

$\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C_1 + \Delta C)}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

Сократим одинаковые множители $2\pi\sqrt{L}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{\sqrt{C_1 + \Delta C}} = \frac{1}{n\sqrt{C_1}}$

Из этого равенства следует:

$n\sqrt{C_1} = \sqrt{C_1 + \Delta C}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(n\sqrt{C_1})^2 = (\sqrt{C_1 + \Delta C})^2$

$n^2 C_1 = C_1 + \Delta C$

Теперь выразим искомую начальную емкость $C_1$:

$n^2 C_1 - C_1 = \Delta C$

$C_1(n^2 - 1) = \Delta C$

$C_1 = \frac{\Delta C}{n^2 - 1}$

Подставим числовые значения из условия:

$C_1 = \frac{0,16 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{3^2 - 1} = \frac{0,16 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{9 - 1} = \frac{0,16 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}{8} = 0,02 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Результат удобнее представить в микрофарадах:

$C_1 = 0,02$ мкФ

Ответ: начальная емкость конденсатора равна $0,02$ мкФ.