Номер 185, страница 59 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

185. После увеличения индуктивности катушки идеального колебательного контура на $\Delta L = 30 \text{ мГн}$ период собственных электромагнитных колебаний в контуре увеличился в $n = 4,0$ раза. Определите конечную индуктивность катушки, если электроемкость конденсатора осталась прежней.

Дано:

$\Delta L = 30 \text{ мГн} = 30 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$n = 4,0$

$C = \text{const}$

Найти:

$L_2$ - ?

Решение:

Период собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяется по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – электроемкость конденсатора.

Запишем эту формулу для начального и конечного состояний контура. Пусть $L_1$ и $T_1$ – начальные индуктивность и период, а $L_2$ и $T_2$ – конечные.

Начальный период колебаний:

$T_1 = 2\pi\sqrt{L_1 C}$

Конечный период колебаний:

$T_2 = 2\pi\sqrt{L_2 C}$

По условию задачи, период колебаний увеличился в $n$ раз, то есть:

$T_2 = n T_1$

Индуктивность катушки увеличилась на $\Delta L$:

$L_2 = L_1 + \Delta L$

Подставим выражения для периодов в соотношение $T_2 = n T_1$:

$2\pi\sqrt{L_2 C} = n \cdot 2\pi\sqrt{L_1 C}$

Сократим одинаковые множители $2\pi$ и $\sqrt{C}$ в обеих частях уравнения:

$\sqrt{L_2} = n\sqrt{L_1}$

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

$L_2 = n^2 L_1$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $L_1$ и $L_2$:

$ \begin{cases} L_2 = L_1 + \Delta L \\ L_2 = n^2 L_1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $L_1$: $L_1 = L_2 - \Delta L$.

Подставим это выражение для $L_1$ во второе уравнение:

$L_2 = n^2 (L_2 - \Delta L)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $L_2$:

$L_2 = n^2 L_2 - n^2 \Delta L$

$n^2 \Delta L = n^2 L_2 - L_2$

$n^2 \Delta L = L_2(n^2 - 1)$

Отсюда находим конечную индуктивность $L_2$:

$L_2 = \frac{n^2 \Delta L}{n^2 - 1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$L_2 = \frac{4,0^2 \cdot 30 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}}{4,0^2 - 1} = \frac{16 \cdot 30 \cdot 10^{-3}}{16 - 1} = \frac{480 \cdot 10^{-3}}{15} = 32 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Переведем результат в миллигенри:

$32 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 32 \text{ мГн}$

Ответ: конечная индуктивность катушки равна $32 \text{ мГн}$.