Номер 192, страница 61 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

192. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Индуктивность катушки $L = 0,20 \text{ Гн}$, а амплитуда колебаний силы тока $I_0 = 30 \text{ мА}$. Определите энергию электрического поля конденсатора в момент времени, когда мгновенное значение силы тока станет в $n = 3,0$ раза меньше амплитудного значения.

Дано:

$L = 0,20$ Гн

$I_0 = 30$ мА

$n = 3,0$

Перевод в систему СИ:
$I_0 = 30 \cdot 10^{-3}$ А $= 0,03$ А

Найти:

$W_E$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. В любой момент времени она равна сумме энергии магнитного поля катушки $W_M$ и энергии электрического поля конденсатора $W_E$.

$W_{полн} = W_M + W_E$

Полная энергия контура равна максимальной энергии магнитного поля катушки, которая достигается при амплитудном (максимальном) значении силы тока $I_0$.

$W_{полн} = W_{M_{max}} = \frac{LI_0^2}{2}$

Энергию электрического поля конденсатора $W_E$ в интересующий нас момент времени можно найти как разность между полной энергией контура и мгновенной энергией магнитного поля катушки $W_M$.

$W_E = W_{полн} - W_M$

Мгновенная энергия магнитного поля катушки определяется мгновенным значением силы тока $I$:

$W_M = \frac{LI^2}{2}$

Согласно условию задачи, мгновенное значение силы тока в $n$ раз меньше амплитудного значения:

$I = \frac{I_0}{n}$

Подставим выражения для полной и мгновенной магнитной энергии в формулу для энергии электрического поля:

$W_E = \frac{LI_0^2}{2} - \frac{LI^2}{2} = \frac{L}{2}(I_0^2 - I^2)$

Теперь подставим выражение для мгновенного тока $I$:

$W_E = \frac{L}{2}\left(I_0^2 - \left(\frac{I_0}{n}\right)^2\right) = \frac{L}{2}\left(I_0^2 - \frac{I_0^2}{n^2}\right) = \frac{LI_0^2}{2}\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$W_E = \frac{0,20 \text{ Гн} \cdot (0,03 \text{ А})^2}{2} \left(1 - \frac{1}{3,0^2}\right) = \frac{0,20 \cdot 0,0009}{2} \left(1 - \frac{1}{9}\right) \text{ Дж}$

$W_E = 0,10 \cdot 0,0009 \cdot \frac{8}{9} \text{ Дж} = 9 \cdot 10^{-5} \cdot \frac{8}{9} \text{ Дж} = 8 \cdot 10^{-5} \text{ Дж}$

Для удобства можно выразить ответ в микроджоулях:

$8 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} = 80 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 80$ мкДж.

Ответ: $W_E = 80$ мкДж.