Номер 198, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

198. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Катушка индуктивностью $L = 0,15 \text{ Гн}$ присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин $S = 20 \text{ см}^2$ и расстоянием между ними $d = 1,77 \text{ мм}$. Максимальная сила тока в катушке $I_0 = 0,20 \text{ мА}$, а максимальное напряжение на обкладках конденсатора $U_0 = 10 \text{ В}$. Определите диэлектрическую проницаемость вещества, заполняющего пространство между пластинами конденсатора.

Дано:

$L = 0,15$ Гн

$S = 20$ см²

$d = 1,77$ мм

$I_0 = 0,20$ мА

$U_0 = 10$ В

$\varepsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в систему СИ:

$S = 20 \cdot 10^{-4}$ м² $= 2 \cdot 10^{-3}$ м²

$d = 1,77 \cdot 10^{-3}$ м

$I_0 = 0,20 \cdot 10^{-3}$ А $= 2 \cdot 10^{-4}$ А

Найти:

$\varepsilon$

Решение:

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется. Энергия периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Максимальная энергия, запасенная в катушке индуктивности, равна максимальной энергии, запасенной в конденсаторе.

Максимальная энергия магнитного поля катушки ($W_{L_{max}}$) определяется формулой:

$W_{L_{max}} = \frac{L I_0^2}{2}$

Максимальная энергия электрического поля конденсатора ($W_{C_{max}}$) определяется формулой:

$W_{C_{max}} = \frac{C U_0^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для идеального контура:

$W_{L_{max}} = W_{C_{max}}$

$\frac{L I_0^2}{2} = \frac{C U_0^2}{2}$

Отсюда мы можем выразить электроемкость конденсатора $C$:

$C = \frac{L I_0^2}{U_0^2}$

С другой стороны, электроемкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная.

Приравняем два выражения для емкости $C$:

$\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d} = \frac{L I_0^2}{U_0^2}$

Выразим искомую диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$:

$\varepsilon = \frac{L I_0^2 d}{U_0^2 \varepsilon_0 S}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$\varepsilon = \frac{0,15 \cdot (2 \cdot 10^{-4})^2 \cdot 1,77 \cdot 10^{-3}}{10^2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 2 \cdot 10^{-3}} = \frac{0,15 \cdot 4 \cdot 10^{-8} \cdot 1,77 \cdot 10^{-3}}{100 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 2 \cdot 10^{-3}} = \frac{1,062 \cdot 10^{-11}}{1770 \cdot 10^{-15}} = \frac{1,062 \cdot 10^{-11}}{1,77 \cdot 10^{-12}} = \frac{10,62}{1,77} = 6$

Ответ: диэлектрическая проницаемость вещества равна 6.