Номер 205, страница 64 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

205. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в катушке изменяются по закону: $U(t)=A\cos(Bt)$ и $I(t)=C\sin(Dt)$ соответственно, где $A = 3,0 \text{ В}$, $B = 6,0 \cdot 10^3 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, $C = -2,0 \text{ А}$, $D = 6,0 \cdot 10^3 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите максимальный магнитный поток в катушке и максимальную энергию контура.

Дано:

Колебательный контур идеальный.

Напряжение на конденсаторе: $U(t) = A \cos(Bt)$.

Сила тока в катушке: $I(t) = C \sin(Dt)$.

Амплитуда напряжения $A = U_m = 3,0 \text{ В}$.

Циклическая частота $B = \omega = 6,0 \cdot 10^3 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.

Коэффициент при синусоиде тока $C = -2,0 \text{ А}$. Амплитуда силы тока $I_m = |C| = 2,0 \text{ А}$.

Циклическая частота $D = \omega = 6,0 \cdot 10^3 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальный магнитный поток в катушке $\Phi_m$.

Максимальную энергию контура $W_m$.

Решение:

Максимальный магнитный поток в катушке

В идеальном колебательном контуре напряжение на конденсаторе $U(t)$ в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции в катушке $\mathcal{E}_{L}(t)$. Согласно второму правилу Кирхгофа для контура: $U(t) + \mathcal{E}_{L}(t) = 0$.

ЭДС самоиндукции связана с изменением магнитного потока $\Phi$ через катушку по закону Фарадея: $\mathcal{E}_{L} = - \frac{d\Phi}{dt}$.

Отсюда следует, что $U(t) = - \mathcal{E}_{L}(t) = \frac{d\Phi}{dt}$.

Зная закон изменения напряжения, можно найти закон изменения магнитного потока путем интегрирования:

$\Phi(t) = \int U(t) dt = \int A \cos(\omega t) dt = \frac{A}{\omega} \sin(\omega t)$

Из этого уравнения видно, что максимальное значение (амплитуда) магнитного потока $\Phi_m$ равно:

$\Phi_m = \frac{A}{\omega}$

Подставим числовые значения из условия:

$\Phi_m = \frac{3,0 \text{ В}}{6,0 \cdot 10^3 \text{ рад/с}} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Вб} = 0,5 \text{ мВб}$.

Ответ: Максимальный магнитный поток в катушке равен $0,5 \cdot 10^{-3}$ Вб.

Максимальная энергия контура

В идеальном контуре полная электромагнитная энергия сохраняется. Она может быть вычислена как максимальная энергия электрического поля в конденсаторе ($W_{E,max}$) или как максимальная энергия магнитного поля в катушке ($W_{L,max}$).

$W_m = W_{L,max} = \frac{L I_m^2}{2}$

$W_m = W_{E,max} = \frac{C_{cap} U_m^2}{2}$

Для нахождения энергии можно найти индуктивность $L$ или ёмкость $C_{cap}$. Амплитуда напряжения на катушке равна амплитуде напряжения на конденсаторе: $U_m = L \omega I_m$.

Выразим индуктивность $L$:

$L = \frac{U_m}{\omega I_m}$

Теперь подставим это выражение в формулу для максимальной энергии магнитного поля:

$W_m = \frac{1}{2} L I_m^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{U_m}{\omega I_m} \right) I_m^2 = \frac{U_m I_m}{2\omega}$

Подставим известные амплитудные значения и частоту:

$U_m = A = 3,0 \text{ В}$

$I_m = |C| = 2,0 \text{ А}$

$\omega = B = 6,0 \cdot 10^3 \text{ рад/с}$

$W_m = \frac{3,0 \text{ В} \cdot 2,0 \text{ А}}{2 \cdot 6,0 \cdot 10^3 \text{ рад/с}} = \frac{6,0}{12,0 \cdot 10^3} \text{ Дж} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0,5 \text{ мДж}$.

Ответ: Максимальная энергия контура равна $0,5 \cdot 10^{-3}$ Дж.