Номер 210, страница 66 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

210. Проволочное кольцо равномерно вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, проходящей через его диаметр и перпендикулярной вектору магнитной индукции. Площадь плоской поверхности, ограниченной кольцом, $S = 0,2 \text{ м}^2$. Модуль индукции магнитного поля $B = 0,01 \text{ Тл}$. Угловая скорость вращения кольца $\omega = 50 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите максимальную силу тока, протекающего в кольце, если кольцо изготовлено из куска провода, сопротивление которого $R = 50 \text{ мОм}$.

Дано:

Площадь кольца, $S = 0,2$ м$^2$

Модуль индукции магнитного поля, $B = 0,01$ Тл

Угловая скорость вращения, $\omega = 50$ рад/с

Сопротивление кольца, $R = 50$ мОм = $50 \cdot 10^{-3}$ Ом = $0,05$ Ом

Найти:

Максимальную силу тока, $I_{max}$ - ?

Решение:

При вращении проволочного кольца в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий кольцо, изменяется со временем. Это изменение вызывает появление электродвижущей силы (ЭДС) индукции, которая, в свою очередь, создает индукционный ток в кольце.

Магнитный поток $\Phi$ через поверхность, ограниченную кольцом, определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $B$ - модуль индукции магнитного поля, $S$ - площадь кольца, а $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к плоскости кольца.

Поскольку кольцо вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha = \omega t$ (если в начальный момент времени $t=0$ плоскость кольца перпендикулярна вектору $\vec{B}$). Таким образом, зависимость магнитного потока от времени имеет вид:

$\Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind}$, возникающая в кольце, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}_{ind}(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Вычисляя производную по времени, получаем:

$\mathcal{E}_{ind}(t) = - B \cdot S \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

ЭДС индукции изменяется по синусоидальному закону. Максимальное значение ЭДС индукции, $\mathcal{E}_{max}$, достигается, когда $\sin(\omega t) = 1$. Следовательно, амплитудное (максимальное) значение ЭДС равно:

$\mathcal{E}_{max} = B \cdot S \cdot \omega$

Сила тока в кольце определяется законом Ома для замкнутой цепи:

$I(t) = \frac{\mathcal{E}_{ind}(t)}{R}$

Максимальная сила тока $I_{max}$ будет соответствовать максимальной ЭДС $\mathcal{E}_{max}$:

$I_{max} = \frac{\mathcal{E}_{max}}{R} = \frac{B \cdot S \cdot \omega}{R}$

Подставим числовые значения из условия задачи и произведем вычисления:

$I_{max} = \frac{0,01 \text{ Тл} \cdot 0,2 \text{ м}^2 \cdot 50 \text{ рад/с}}{0,05 \text{ Ом}} = \frac{0,1 \text{ В}}{0,05 \text{ Ом}} = 2$ А

Ответ: максимальная сила тока, протекающего в кольце, составляет $2$ А.