Номер 211, страница 66 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

211. Проволочную рамку, состоящую из $N = 100$ витков тонкого провода, равномерно вращают в однородном магнитном поле с индукцией, модуль которой $B = 10 \text{ мТл}$. Площадь плоской поверхности, охваченной рамкой, $S = 400 \text{ см}^2$. Линии магнитной индукции перпендикулярны оси вращения. Определите максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, если частота вращения рамки $\nu = 1,6 \text{ с}^{-1}$.

Дано:

$N = 100$

$B = 10$ мТл

$S = 400$ см$^2$

$\nu = 1,6$ с$^{-1}$

$B = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,01 \text{ Тл}$

$S = 400 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,04 \text{ м}^2$

$\nu = 1,6 \text{ Гц}$

Найти:

$\mathcal{E}_{max}$ — ?

Решение:

При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле магнитный поток $\Phi$, пронизывающий все $N$ витков рамки, изменяется со временем. Он определяется по формуле:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки. Так как рамка вращается равномерно с частотой $\nu$, угол $\alpha$ изменяется по закону $\alpha(t) = \omega t$, где $\omega$ — угловая скорость.

Угловая скорость связана с частотой вращения следующим соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Следовательно, магнитный поток изменяется по закону:

$\Phi(t) = N B S \cos(2\pi\nu t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком «минус»:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(N B S \cos(2\pi\nu t)) = - N B S \cdot (-\sin(2\pi\nu t)) \cdot (2\pi\nu)$

$\mathcal{E}(t) = N B S \cdot 2\pi\nu \cdot \sin(2\pi\nu t)$

Из этого выражения видно, что ЭДС индукции изменяется по гармоническому закону. Максимальное значение ЭДС (амплитуда) $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(2\pi\nu t) = 1$.

$\mathcal{E}_{max} = N B S \cdot 2\pi\nu$

Подставим числовые значения величин в системе СИ:

$\mathcal{E}_{max} = 100 \cdot 0,01 \text{ Тл} \cdot 0,04 \text{ м}^2 \cdot 2 \pi \cdot 1,6 \text{ с}^{-1} = 0,128\pi \text{ В}$

Вычислим приближенное значение:

$\mathcal{E}_{max} \approx 0,128 \cdot 3,14 \text{ В} \approx 0,40192 \text{ В}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точным данным значением $\nu$), получаем $\mathcal{E}_{max} \approx 0,40$ В.

Ответ: максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке, составляет примерно $0,40$ В.