Номер 206, страница 64 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

206. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Напряжение на обкладках конденсатора изменяется с течением времени по закону: $U(t) = A\sin(Bt)$, где $A = 20 \text{ В}$, $B = 100\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Емкость конденсатора $C = 5 \text{ мкФ}$. Постройте графики зависимости:

а) заряда конденсатора и силы тока в катушке от времени;

б) энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки от времени.

Дано:

Закон изменения напряжения: $U(t) = A\sin(Bt)$
Амплитуда напряжения, $A = 20$ В
Циклическая частота, $B = 100\pi$ рад/с
Емкость конденсатора, $C = 5$ мкФ

$A = 20$ В
$B = \omega = 100\pi$ рад/с
$C = 5 \times 10^{-6}$ Ф

Найти:

а) Графики зависимостей заряда конденсатора $q(t)$ и силы тока в катушке $i(t)$ от времени
б) Графики зависимостей энергии электрического поля конденсатора $W_E(t)$ и энергии магнитного поля катушки $W_M(t)$ от времени

Решение:

а) заряда конденсатора и силы тока в катушке от времени
Заряд на обкладках конденсатора связан с напряжением на них соотношением $q = C \cdot U$. Подставив в эту формулу заданный закон изменения напряжения, получим закон изменения заряда во времени:
$q(t) = C \cdot U(t) = C \cdot A \sin(Bt)$.
Это гармоническое колебание с амплитудой $q_m = C \cdot A$.
Вычислим численное значение амплитуды заряда:
$q_m = 5 \times 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 20 \text{ В} = 100 \times 10^{-6} \text{ Кл} = 1 \times 10^{-4}$ Кл.
Таким образом, искомое уравнение для заряда: $q(t) = 10^{-4} \sin(100\pi t)$ (Кл).

Сила тока в контуре по определению является производной заряда по времени: $i(t) = q'(t)$.
Продифференцируем выражение для заряда:
$i(t) = \frac{d}{dt} (C A \sin(Bt)) = C A B \cos(Bt)$.
Колебания силы тока также являются гармоническими, но опережают колебания заряда по фазе на $\pi/2$. Амплитуда силы тока равна $I_m = C A B = q_m B$.
Вычислим численное значение амплитуды силы тока:
$I_m = 10^{-4} \text{ Кл} \cdot 100\pi \text{ рад/с} = 10^{-2}\pi$ А $\approx 0.0314$ А.
Таким образом, искомое уравнение для силы тока: $i(t) = 10^{-2}\pi \cos(100\pi t)$ (А).

Для построения графиков необходимо определить период колебаний $T$. Он связан с циклической частотой $B$ формулой $T = \frac{2\pi}{B}$.
$T = \frac{2\pi}{100\pi \text{ рад/с}} = \frac{1}{50}$ с $= 0.02$ с.

График зависимости $q(t)$ представляет собой синусоиду с амплитудой $10^{-4}$ Кл и периодом $0.02$ с. Он начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в $t = T/4 = 0.005$ с, проходит через ноль в $t = T/2 = 0.01$ с, достигает минимума в $t = 3T/4 = 0.015$ с и завершает период в $t = T = 0.02$ с.
График зависимости $i(t)$ представляет собой косинусоиду с амплитудой $10^{-2}\pi$ А и периодом $0.02$ с. Он начинается в точке $(0, I_m)$, проходит через ноль в $t = T/4 = 0.005$ с, достигает минимума в $t = T/2 = 0.01$ с, снова проходит через ноль в $t = 3T/4 = 0.015$ с и возвращается к максимуму в $t = T = 0.02$ с.
Ответ: Зависимость заряда от времени: $q(t) = 10^{-4} \sin(100\pi t)$ (Кл). Зависимость силы тока от времени: $i(t) = 10^{-2}\pi \cos(100\pi t)$ (А). Графики этих зависимостей - синусоида и косинусоида соответственно с периодом $T = 0.02$ с.

б) энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки от времени
Энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе, вычисляется по формуле $W_E = \frac{CU^2}{2}$.
Подставив в нее закон изменения напряжения, получим зависимость энергии от времени:
$W_E(t) = \frac{C(A\sin(Bt))^2}{2} = \frac{CA^2}{2}\sin^2(Bt)$.
Максимальное значение энергии электрического поля (амплитуда колебаний энергии):
$W_{E,max} = \frac{CA^2}{2} = \frac{5 \times 10^{-6} \text{ Ф} \cdot (20 \text{ В})^2}{2} = \frac{5 \times 10^{-6} \cdot 400}{2} = 10^{-3}$ Дж.
Тогда закон изменения энергии электрического поля: $W_E(t) = 10^{-3} \sin^2(100\pi t)$ (Дж).

Энергия магнитного поля, запасенная в катушке, вычисляется по формуле $W_M = \frac{LI^2}{2}$. Так как контур идеальный, полная электромагнитная энергия сохраняется, т.е. $W_E(t) + W_M(t) = const$. Максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля: $W_{M,max} = W_{E,max} = 10^{-3}$ Дж.
Используя закон изменения силы тока, получим:
$W_M(t) = W_{M,max}\cos^2(Bt)$.
Таким образом, закон изменения энергии магнитного поля: $W_M(t) = 10^{-3} \cos^2(100\pi t)$ (Дж).

Из формул для энергии видно, что они изменяются с удвоенной циклической частотой $B_W = 2B = 200\pi$ рад/с, а их период в два раза меньше периода колебаний заряда и тока: $T_W = \frac{T}{2} = 0.01$ с. Значения энергии всегда неотрицательны.

График $W_E(t)$ представляет собой кривую $\sin^2$, изменяющуюся в пределах от $0$ до $10^{-3}$ Дж с периодом $0.01$ с. В моменты времени $t=0, 0.01, 0.02, ...$ с энергия равна нулю. В моменты $t=0.005, 0.015, ...$ с энергия максимальна.
График $W_M(t)$ представляет собой кривую $\cos^2$, изменяющуюся в тех же пределах и с тем же периодом $0.01$ с. В моменты времени $t=0, 0.01, 0.02, ...$ с энергия максимальна. В моменты $t=0.005, 0.015, ...$ с энергия равна нулю. Графики $W_E(t)$ и $W_M(t)$ находятся в противофазе.
Ответ: Зависимость энергии электрического поля от времени: $W_E(t) = 10^{-3} \sin^2(100\pi t)$ (Дж). Зависимость энергии магнитного поля от времени: $W_M(t) = 10^{-3} \cos^2(100\pi t)$ (Дж). Графики этих зависимостей - синусоида в квадрате и косинусоида в квадрате соответственно, с периодом $T_W = 0.01$ с.