Номер 202, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

202. В идеальном колебательном контуре, индуктивность катушки которого $L = 0,08 \text{ Гн}$, происходят свободные электромагнитные колебания. Сила тока изменяется по закону: $I(t) = B\cos(Ct + D)$, где $B = 10 \text{ мА}$, $C = 1 \cdot 10^5 \pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, $D = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$. Определите:a) частоту электромагнитных колебаний;б) энергию магнитного поля катушки в начальный момент времени и в момент времени, равный трети периода электромагнитных колебаний.

Дано:

$L = 0,08 \text{ Гн}$

$I(t) = B\cos(Ct + D)$

$B = 10 \text{ мА} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0,01 \text{ А}$

$C = 1 \cdot 10^5\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$D = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

а) $\nu$

б) $W_L(0), W_L(\frac{T}{3})$

Решение:

а) частоту электромагнитных колебаний

Закон изменения силы тока в общем виде для гармонических колебаний: $I(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — амплитуда силы тока, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.
Сравнивая это уравнение с заданным $I(t) = B\cos(Ct + D)$, находим, что циклическая частота колебаний $\omega$ равна параметру $C$:
$\omega = C = 10^5\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$.
Линейная частота $\nu$ связана с циклической частотой соотношением $\omega = 2\pi\nu$.
Отсюда выразим и найдем частоту $\nu$:
$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{C}{2\pi} = \frac{10^5\pi}{2\pi} = 0,5 \cdot 10^5 \text{ Гц} = 50 \cdot 10^3 \text{ Гц} = 50 \text{ кГц}$.

Ответ: $\nu = 50 \text{ кГц}$.

б) энергию магнитного поля катушки в начальный момент времени и в момент времени, равный трети периода электромагнитных колебаний

Энергия магнитного поля катушки индуктивности определяется формулой:
$W_L = \frac{LI^2}{2}$.
Поскольку сила тока изменяется со временем, энергия магнитного поля также является функцией времени:
$W_L(t) = \frac{L(I(t))^2}{2} = \frac{L(B\cos(Ct + D))^2}{2} = \frac{LB^2}{2}\cos^2(Ct + D)$.

1. Найдем энергию в начальный момент времени, т.е. при $t = 0$:
$W_L(0) = \frac{LB^2}{2}\cos^2(C \cdot 0 + D) = \frac{LB^2}{2}\cos^2(D)$.
Подставим числовые значения:
$\cos(D) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
$W_L(0) = \frac{0,08 \text{ Гн} \cdot (0,01 \text{ А})^2}{2} \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{0,08 \cdot 10^{-4}}{2} \cdot \frac{1}{4} = 0,04 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{1}{4} = 0,01 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 1 \text{ мкДж}$.

2. Найдем энергию в момент времени $t = \frac{T}{3}$, где $T$ — период колебаний.
Период колебаний связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{C}$.
Тогда момент времени $t = \frac{T}{3} = \frac{2\pi}{3C}$.
Найдем значение энергии в этот момент:
$W_L(\frac{T}{3}) = \frac{LB^2}{2}\cos^2(C \cdot \frac{2\pi}{3C} + D) = \frac{LB^2}{2}\cos^2(\frac{2\pi}{3} + D)$.
Подставим значение начальной фазы $D = \frac{\pi}{3}$:
$\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{3\pi}{3}) = \cos(\pi) = -1$.
Теперь вычислим энергию:
$W_L(\frac{T}{3}) = \frac{LB^2}{2} \cdot (-1)^2 = \frac{LB^2}{2}$.
$W_L(\frac{T}{3}) = \frac{0,08 \text{ Гн} \cdot (0,01 \text{ А})^2}{2} = \frac{0,08 \cdot 10^{-4}}{2} = 0,04 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Дж} = 4 \text{ мкДж}$.

Ответ: в начальный момент времени энергия магнитного поля равна $1 \text{ мкДж}$; в момент времени, равный трети периода, энергия равна $4 \text{ мкДж}$.