Номер 203, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

203. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Зависимость напряжения на обкладках конденсатора, электроемкость которого $C = 260 \text{ нФ}$, имеет вид: $U(t) = A\cos(Bt)$,

где $A = 100 \text{ В}$, $B = 2,0 \cdot 10^3 \pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите:

а) период электромагнитных колебаний;

б) максимальную энергию магнитного поля катушки;

в) максимальную силу тока в катушке.

Дано:

C = 260 нФ

A = 100 В

B = 2,0·10³π рад/с

U(t) = Acos(Bt)

C = 260 · 10⁻⁹ Ф = 2,6 · 10⁻⁷ Ф

Найти:

а) T - ?

б) $W_{Lmax}$ - ?

в) $I_{max}$ - ?

Решение:

а) период электромагнитных колебаний

Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе в задаче имеет вид $U(t) = A \cos(Bt)$. Общий вид уравнения гармонических колебаний напряжения: $U(t) = U_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$. Сравнивая эти два уравнения, можно определить амплитуду напряжения $U_{max} = A$ и циклическую (угловую) частоту колебаний $\omega = B$.

Таким образом, циклическая частота $\omega = B = 2,0 \cdot 10^3 \pi$ рад/с.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ следующим соотношением: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим значение $\omega=B$ в формулу:

$T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{2,0 \cdot 10^3 \pi} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$ с.

Ответ: $T = 10^{-3}$ с (или 1 мс).

б) максимальную энергию магнитного поля катушки

В идеальном колебательном контуре (без потерь энергии) полная энергия сохраняется. Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{Lmax}$ равна максимальной энергии электрического поля конденсатора $W_{Cmax}$.

Энергия электрического поля конденсатора вычисляется по формуле: $W_C = \frac{C U^2}{2}$.

Максимальная энергия электрического поля достигается при максимальном напряжении на конденсаторе, которое равно амплитуде $U_{max} = A$.

$W_{Lmax} = W_{Cmax} = \frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{C A^2}{2}$.

Подставим числовые значения из условия:

$W_{Lmax} = \frac{2,6 \cdot 10^{-7} \text{ Ф} \cdot (100 \text{ В})^2}{2} = \frac{2,6 \cdot 10^{-7} \cdot 10^4}{2} = 1,3 \cdot 10^{-3}$ Дж.

Ответ: $W_{Lmax} = 1,3 \cdot 10^{-3}$ Дж (или 1,3 мДж).

в) максимальную силу тока в катушке

Сила тока $I(t)$ в контуре является первой производной по времени от заряда $q(t)$ на обкладках конденсатора: $I(t) = q'(t)$.

Заряд на конденсаторе связан с напряжением на нем: $q(t) = C \cdot U(t) = C A \cos(Bt)$.

Теперь найдем производную от заряда по времени, чтобы получить выражение для силы тока:

$I(t) = (C A \cos(Bt))' = -C A B \sin(Bt)$.

Максимальное значение силы тока (амплитуда тока) $I_{max}$ равно модулю коэффициента перед функцией синуса, так как максимальное значение $|\sin(Bt)|$ равно 1.

$I_{max} = C \cdot A \cdot B$.

Подставим числовые значения:

$I_{max} = (2,6 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}) \cdot (100 \text{ В}) \cdot (2,0 \cdot 10^3 \pi \text{ с}^{-1}) = 2,6 \cdot 10^{-5} \cdot 2,0 \cdot 10^3 \pi = 5,2 \cdot 10^{-2} \pi$ А.

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$I_{max} \approx 0,052 \cdot 3,14 \approx 0,16328$ А.

Округляя до двух значащих цифр (как в значении B), получаем:

$I_{max} \approx 0,16$ А.

Ответ: $I_{max} \approx 0,16$ А.