Номер 207, страница 64 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

207. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. Заряд на обкладках плоского воздушного конденсатора емкостью $C = 2 \text{ нФ}$ в колебательном контуре изменяется с течением времени по закону: $q(t) = A\cos(Bt)$, где $A = 10 \text{ нКл}$, $B = 1 \cdot 10^4 \pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Постройте графики зависимости:

а) напряжения на конденсаторе и силы тока в катушке от времени;

б) модуля напряженности электрического поля в конденсаторе от времени, если расстояние между обкладками конденсатора $d = 2,0 \text{ мм}$;

в) магнитного потока в катушке от времени.

Дано:

C = 2 нФ

Закон изменения заряда: $q(t) = A\cos(Bt)$

A = 10 нКл

B = $1 \cdot 10^4 \pi \frac{рад}{с}$

d = 2,0 мм

Перевод в систему СИ:

C = $2 \cdot 10^{-9}$ Ф

A = $10 \cdot 10^{-9}$ Кл = $10^{-8}$ Кл

B = $10^4\pi$ рад/с

d = $2.0 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Построить графики зависимостей:

а) $U(t), I(t)$

б) $|E(t)|$

в) $\Phi(t)$

Решение:

Заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону $q(t) = A\cos(Bt)$. Это уравнение свободных электромагнитных колебаний вида $q(t) = q_{max}\cos(\omega t + \phi_0)$.

Из сравнения уравнений находим:

Амплитуда заряда: $q_{max} = A = 10^{-8}$ Кл.

Циклическая частота: $\omega = B = 10^4\pi$ рад/с.

Начальная фаза: $\phi_0 = 0$.

Период колебаний можно найти по формуле $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{10^4\pi} = 2 \cdot 10^{-4} \text{ с} = 0,2 \text{ мс}$.

а) напряжения на конденсаторе и силы тока в катушке от времени

Напряжение на конденсаторе связано с зарядом соотношением $U_C(t) = \frac{q(t)}{C}$.

Подставим закон изменения заряда:

$U_C(t) = \frac{A\cos(Bt)}{C}$

Амплитуда напряжения $U_{max} = \frac{A}{C} = \frac{10^{-8} \text{ Кл}}{2 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}} = 5 \text{ В}$.

Таким образом, закон изменения напряжения:

$U_C(t) = 5\cos(10^4\pi t)$ (В)

Сила тока в катушке является производной заряда по времени: $I(t) = q'(t)$.

$I(t) = \frac{d}{dt}(A\cos(Bt)) = -AB\sin(Bt)$.

Амплитуда силы тока $I_{max} = AB = 10^{-8} \text{ Кл} \cdot 10^4\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}} = 10^{-4}\pi \text{ А} \approx 0,314 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0,314 \text{ мА}$.

Таким образом, закон изменения силы тока:

$I(t) = -10^{-4}\pi\sin(10^4\pi t)$ (А)

График $U_C(t)$ — это косинусоида с амплитудой 5 В и периодом 0,2 мс. В момент $t=0$ напряжение максимально и равно 5 В.

График $I(t)$ — это синусоида, инвертированная относительно оси времени (отрицательный синус), с амплитудой $10^{-4}\pi$ А ($\approx 0,314$ мА) и периодом 0,2 мс. В момент $t=0$ сила тока равна нулю. Колебания тока опережают колебания напряжения на фазу $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $U_C(t) = 5\cos(10^4\pi t)$ В; $I(t) = -10^{-4}\pi\sin(10^4\pi t)$ А. График напряжения — косинусоида, график силы тока — отрицательная синусоида, сдвинутая по фазе относительно напряжения на $+\frac{\pi}{2}$.

б) модуля напряженности электрического поля в конденсаторе от времени

Для плоского конденсатора модуль напряженности электрического поля $E$ связан с напряжением $U_C$ и расстоянием между обкладками $d$ как $E = \frac{U_C}{d}$.

Поскольку нас интересует модуль напряженности, мы берем модуль от напряжения:

$|E(t)| = \frac{|U_C(t)|}{d} = \frac{|5\cos(10^4\pi t)|}{d}$.

Амплитуда напряженности $E_{max} = \frac{U_{max}}{d} = \frac{5 \text{ В}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = 2500 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 2,5 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.

Закон изменения модуля напряженности:

$|E(t)| = 2500|\cos(10^4\pi t)|$ (В/м)

График $|E(t)|$ — это график функции $|\cos(x)|$, "выпрямленная" косинусоида. Он всегда неотрицателен. Его период в два раза меньше периода колебаний в контуре: $T_E = \frac{T}{2} = \frac{0,2 \text{ мс}}{2} = 0,1 \text{ мс}$. В момент $t=0$ напряженность максимальна и равна 2500 В/м.

Ответ: $|E(t)| = 2500|\cos(10^4\pi t)|$ В/м. График — "выпрямленная" косинусоида с амплитудой 2500 В/м и периодом 0,1 мс.

в) магнитного потока в катушке от времени

В идеальном колебательном контуре напряжение на катушке $U_L(t)$ равно по модулю и противоположно по знаку напряжению на конденсаторе $U_C(t)$: $U_L(t) = -U_C(t)$.

Также напряжение на катушке (ЭДС самоиндукции) связано со скоростью изменения магнитного потока $\Phi(t)$: $U_L(t) = \frac{d\Phi(t)}{dt}$.

Следовательно, $\frac{d\Phi(t)}{dt} = -U_C(t) = -5\cos(10^4\pi t)$.

Чтобы найти $\Phi(t)$, проинтегрируем это выражение по времени:

$\Phi(t) = \int -5\cos(10^4\pi t) dt = -\frac{5}{10^4\pi}\sin(10^4\pi t) + \text{const}$.

Поскольку постоянная составляющая магнитного потока в колебательном контуре отсутствует, const = 0.

$\Phi(t) = -\frac{5}{10^4\pi}\sin(10^4\pi t) \text{ Вб}$.

Амплитуда магнитного потока $\Phi_{max} = \frac{5}{10^4\pi} = \frac{1}{2000\pi} \text{ Вб} \approx 1,59 \cdot 10^{-4} \text{ Вб} = 0,159 \text{ мВб}$.

Закон изменения магнитного потока:

$\Phi(t) = -\frac{1}{2000\pi}\sin(10^4\pi t)$ (Вб)

График $\Phi(t)$ — это отрицательная синусоида, как и график силы тока. Период колебаний равен $T = 0,2$ мс. В момент $t=0$ магнитный поток равен нулю.

Ответ: $\Phi(t) = -\frac{1}{2000\pi}\sin(10^4\pi t)$ Вб. График — отрицательная синусоида с амплитудой $\frac{1}{2000\pi}$ Вб и периодом 0,2 мс.