Номер 208, страница 65 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

208. Прямоугольная проволочная рамка равномерно вращается по часовой стрелке в магнитном поле между полюсами магнита (рис. 52, а). Линии магнитной индукции горизонтальны и параллельны оси $Ox$. На скользящих контактах 1 и 2, подключенных к рамке, измеряют разность потенциалов $\varphi_1$ и $\varphi_2$. В начальный момент времени угол между вертикальной осью $Oy$ и нормалью к рамке $\alpha = 0^\circ$. Укажите:

а) номер графика на рисунке 52, б, характеризующего зависимость магнитного потока через поверхность, ограниченную рамкой, от времени;

б) номер графика, характеризующего зависимость разности потенциалов $\varphi_1 - \varphi_2$ от времени.

Обоснуйте ответы.

Рис. 52

Решение

а) номер графика, характеризующего зависимость магнитного потока через поверхность, ограниченную рамкой, от времени

Магнитный поток $ \Phi $ через плоскую рамку площадью $ S $, помещенную в однородное магнитное поле с индукцией $ \vec{B} $, определяется формулой:
$ \Phi = B S \cos\theta $
где $ \theta $ — угол между вектором магнитной индукции $ \vec{B} $ и вектором нормали $ \vec{n} $ к плоскости рамки.

Согласно условию, вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ направлен вдоль оси $ Ox $. В начальный момент времени $ t=0 $ нормаль к рамке $ \vec{n} $ сонаправлена с осью $ Oy $ (угол $ \alpha=0^\circ $). Следовательно, в момент $ t=0 $ угол $ \theta $ между векторами $ \vec{B} $ и $ \vec{n} $ равен $ 90^\circ $.

Рамка вращается равномерно по часовой стрелке с угловой скоростью $ \omega $. Угол поворота рамки изменяется со временем по закону $ \phi = \omega t $. Угол $ \alpha $ между нормалью и осью $ Oy $ также равен $ \omega t $. Угол $ \theta $ между нормалью $ \vec{n} $ и осью $ Ox $ (направлением вектора $ \vec{B} $) будет изменяться по закону $ \theta(t) = 90^\circ - \alpha(t) = 90^\circ - \omega t $.

Подставим зависимость угла от времени в формулу для магнитного потока:
$ \Phi(t) = B S \cos(90^\circ - \omega t) = B S \sin(\omega t) $

Эта зависимость представляет собой синусоиду. В начальный момент времени $ t=0 $, $ \Phi(0) = B S \sin(0) = 0 $. Сразу после начала движения (при малых $ t>0 $), $ \sin(\omega t)>0 $, и, следовательно, магнитный поток возрастает. На представленных графиках такому поведению соответствует кривая под номером 4.

Ответ: График 4.

б) номер графика, характеризующего зависимость разности потенциалов $ \varphi_1 - \varphi_2 $ от времени

Разность потенциалов $ \varphi_1 - \varphi_2 $ на скользящих контактах равна ЭДС индукции $ \mathcal{E} $, возникающей во вращающейся рамке. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции равна производной от магнитного потока по времени, взятой со знаком минус:
$ \mathcal{E} = - \frac{d\Phi}{dt} $

Используя найденное в пункте (а) выражение для магнитного потока $ \Phi(t) = B S \sin(\omega t) $, найдем его производную по времени:
$ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt} (B S \sin(\omega t)) = B S \omega \cos(\omega t) $

Следовательно, ЭДС индукции изменяется со временем по закону:
$ \mathcal{E}(t) = - B S \omega \cos(\omega t) $

Эта зависимость описывается функцией «минус косинус». В начальный момент времени $ t=0 $, ЭДС индукции принимает свое минимальное (максимальное по модулю отрицательное) значение: $ \mathcal{E}(0) = - B S \omega \cos(0) = - B S \omega $. На представленных графиках такому поведению соответствует кривая под номером 3.

Ответ: График 3.