Номер 215, страница 68 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

215. Проволочная квадратная рамка со стороной $a = 25$ см равномерно вращается в однородном магнитном поле вокруг стороны $AB$ с периодом $T = 20$ мс (рис. 54). В начальный момент времени линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости рамки. Модуль максимальной силы Ампера, действующей на сторону $AB$, $(F_A)_{\max} = 1,0$ мН. Запишите уравнение зависимости силы тока, возникающего в рамке, от времени и постройте график этой зависимости. Сопротивление проволоки $R = 0,314$ Ом.

Рис. 54

Дано:

$a = 25 \text{ см} = 0,25 \text{ м}$
$T = 20 \text{ мс} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с}$
$(F_A)_{\text{max}} = 1,0 \text{ мН} = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$
$R = 0,314 \text{ Ом}$

Найти:

$I(t)$ — ?; График $I(t)$ — ?

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток $\Phi$, пронизывающий рамку, изменяется со временем. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, это приводит к возникновению ЭДС индукции $E(t)$ и, как следствие, индукционного тока $I(t)$.
Магнитный поток определяется формулой $\Phi(t) = B S \cos(\alpha)$, где $B$ — модуль индукции магнитного поля, $S=a^2$ — площадь рамки, а $\alpha$ — угол между вектором индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$.
Рамка вращается равномерно, поэтому угол $\alpha$ изменяется линейно со временем: $\alpha(t) = \omega t + \alpha_0$, где $\omega$ — угловая скорость.
Угловую скорость найдем через период вращения $T$:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{20 \cdot 10^{-3} \text{ с}} = 100\pi \text{ рад/с}$.
По условию, в начальный момент времени ($t=0$) линии индукции перпендикулярны плоскости рамки, это означает, что вектор $\vec{B}$ параллелен нормали $\vec{n}$, то есть начальный угол $\alpha_0 = 0$. Тогда $\alpha(t) = \omega t$.
Зависимость магнитного потока от времени:
$\Phi(t) = B a^2 \cos(\omega t)$.
ЭДС индукции $E(t)$ равна производной магнитного потока по времени, взятой с противоположным знаком:
$E(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(B a^2 \cos(\omega t)) = B a^2 \omega \sin(\omega t)$.
По закону Ома для полной цепи, сила индукционного тока $I(t)$ равна:
$I(t) = \frac{E(t)}{R} = \frac{B a^2 \omega}{R} \sin(\omega t)$.
Это уравнение гармонических колебаний тока $I(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)$, где амплитуда тока $I_{\text{max}} = \frac{B a^2 \omega}{R}$.
На сторону рамки $AB$, по которой течет ток $I(t)$, со стороны магнитного поля действует сила Ампера $F_A(t)$. Так как сторона $AB$ является осью вращения и всегда перпендикулярна вектору $\vec{B}$ (который лежит в плоскости $xy$), модуль силы Ампера равен:
$F_A(t) = I(t) B a \sin(90^\circ) = I(t) B a$.
Максимальное значение силы Ампера $(F_A)_{\text{max}}$ соответствует максимальному значению тока $I_{\text{max}}$:
$(F_A)_{\text{max}} = I_{\text{max}} B a$.
Мы получили систему из двух уравнений для определения $I_{\text{max}}$ и $B$:
$I_{\text{max}} = \frac{B a^2 \omega}{R}$
$B = \frac{(F_A)_{\text{max}}}{I_{\text{max}} a}$
Подставив выражение для $B$ из второго уравнения в первое, получим:
$I_{\text{max}} = \frac{1}{R} \left(\frac{(F_A)_{\text{max}}}{I_{\text{max}} a}\right) a^2 \omega = \frac{(F_A)_{\text{max}} a \omega}{I_{\text{max}} R}$.
Выразим отсюда квадрат амплитуды тока:
$I_{\text{max}}^2 = \frac{(F_A)_{\text{max}} a \omega}{R}$.
Теперь найдем числовое значение амплитуды. Для удобства вычислений заметим, что $R = 0,314 \text{ Ом} \approx 0,1\pi \text{ Ом}$.
$I_{\text{max}} = \sqrt{\frac{(F_A)_{\text{max}} a \omega}{R}} = \sqrt{\frac{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ Н} \cdot 0,25 \text{ м} \cdot 100\pi \text{ рад/с}}{0,314 \text{ Ом}}} \approx \sqrt{\frac{10^{-3} \cdot 0,25 \cdot 100\pi}{0,1\pi}} = \sqrt{\frac{10^{-3} \cdot 25}{0,1}} = \sqrt{0,25} = 0,5 \text{ А}$.
Зная амплитуду тока $I_{\text{max}}$ и угловую частоту $\omega$, записываем искомое уравнение.

Ответ:
Уравнение зависимости силы тока от времени имеет вид: $I(t) = 0,5 \sin(100\pi t)$ (А).
График этой зависимости представлен ниже. Это синусоида с амплитудой $I_{\text{max}} = 0,5 \text{ А}$ и периодом $T = 20 \text{ мс}$.