Номер 209, страница 65 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

209. Проволочная рамка, состоящая из $N = 100$ витков тонкого провода, равномерно вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной вектору индукции магнитного поля. Площадь плоской поверхности, охваченной рамкой, $S = 400 \text{ см}^2$. Циклическая частота вращения рамки $\omega = 100 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Модуль индукции магнитного поля $B = 10 \text{ мТл}$. В начальный момент времени магнитный поток через плоскость рамки был максимальным. Определите:

а) зависимость магнитного потока, пронизывающего плоскость каждого витка рамки, от времени;

б) максимальный поток магнитной индукции, пронизывающий плоскость каждого витка рамки;

в) зависимость ЭДС индукции, возникающей в рамке, от времени;

г) максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке;

д) ЭДС индукции, возникающей в рамке, в момент времени $t = 3,14 \text{ с}$.

Дано:

Число витков: $N = 100$
Площадь рамки: $S = 400 \text{ см}^2$
Циклическая частота вращения: $\omega = 100 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$
Модуль индукции магнитного поля: $B = 10 \text{ мТл}$
Момент времени: $t = 3,14 \text{ с}$
Начальное условие: в момент времени $t=0$ магнитный поток через плоскость рамки был максимальным.

$S = 400 \text{ см}^2 = 400 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 400 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$
$B = 10 \text{ мТл} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 10^{-2} \text{ Тл}$

Найти:

а) $Φ_1(t)$ — зависимость магнитного потока через один виток от времени;
б) $Φ_{1,max}$ — максимальный поток через один виток;
в) $E(t)$ — зависимость ЭДС индукции в рамке от времени;
г) $E_{max}$ — максимальное значение ЭДС индукции;
д) $E(t = 3,14 \text{ с})$ — ЭДС индукции в заданный момент времени.

Решение:

а) зависимость магнитного потока, пронизывающего плоскость каждого витка рамки, от времени

Магнитный поток $Φ_1$ через один виток рамки определяется по формуле $Φ_1 = B S \cos(\alpha)$, где $α$ — это угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к плоскости рамки.

Рамка вращается с постоянной циклической частотой $ω$, поэтому угол $α$ изменяется со временем по закону: $\alpha(t) = \omega t + \alpha_0$, где $\alpha_0$ — начальная фаза.

Согласно условию, в начальный момент времени ($t=0$) магнитный поток максимален. Это происходит, когда вектор нормали $\vec{n}$ параллелен вектору магнитной индукции $\vec{B}$, то есть когда $\cos(\alpha)$ принимает максимальное значение, равное 1. Это соответствует углу $\alpha=0$. Таким образом, начальная фаза $\alpha_0 = 0$, и зависимость угла от времени принимает вид $\alpha(t) = \omega t$.

Подставляя это в формулу для магнитного потока, получаем его зависимость от времени:

$Φ_1(t) = B S \cos(\omega t)$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$Φ_1(t) = 10^{-2} \cdot 4 \cdot 10^{-2} \cdot \cos(100t) = 4 \cdot 10^{-4} \cos(100t)$

Ответ: $Φ_1(t) = 4 \cdot 10^{-4} \cos(100t)$ (Вб).

б) максимальный поток магнитной индукции, пронизывающий плоскость каждого витка рамки

Максимальное значение магнитного потока $Φ_{1,max}$ достигается, когда косинус равен единице ($\cos(\omega t) = 1$).

Из формулы, полученной в пункте (а), следует, что амплитудное значение потока равно:

$Φ_{1,max} = B S$

$Φ_{1,max} = 10^{-2} \text{ Тл} \cdot 4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ Вб}$

Ответ: $Φ_{1,max} = 4 \cdot 10^{-4}$ Вб (или 0,4 мВб).

в) зависимость ЭДС индукции, возникающей в рамке, от времени

Полный магнитный поток $Φ(t)$ через рамку, состоящую из $N$ витков, равен сумме потоков через каждый виток: $Φ(t) = N \cdot Φ_1(t) = N B S \cos(\omega t)$.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $E(t)$ равна скорости изменения полного магнитного потока, взятой со знаком минус:

$E(t) = -Φ'(t) = - \frac{d}{dt} (N B S \cos(\omega t))$

Берём производную по времени:

$E(t) = - N B S (-\omega \sin(\omega t)) = N B S \omega \sin(\omega t)$

Подставим числовые значения:

$E(t) = 100 \cdot (10^{-2}) \cdot (4 \cdot 10^{-2}) \cdot 100 \cdot \sin(100t) = 4 \sin(100t)$

Ответ: $E(t) = 4 \sin(100t)$ (В).

г) максимальное значение ЭДС индукции, возникающей в рамке

Максимальное значение ЭДС индукции, или амплитуда ЭДС ($E_{max}$), достигается, когда синус принимает максимальное значение, равное единице ($\sin(\omega t) = 1$).

Из выражения, полученного в пункте (в), следует:

$E_{max} = N B S \omega$

$E_{max} = 100 \cdot 10^{-2} \text{ Тл} \cdot 4 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 \cdot 100 \frac{\text{рад}}{\text{с}} = 4 \text{ В}$

Ответ: $E_{max} = 4$ В.

д) ЭДС индукции, возникающей в рамке, в момент времени t = 3,14 с

Чтобы найти мгновенное значение ЭДС в момент времени $t = 3,14$ с, подставим это значение в зависимость $E(t)$, полученную в пункте (в):

$E(t=3,14 \text{ с}) = 4 \sin(100 \cdot 3,14)$

В учебных задачах число 3,14 часто используется как приближение числа $\pi$. Если принять $t = 3,14 \text{ с} \approx \pi \text{ с}$, то аргумент синуса становится $100 \cdot \pi$.

Значение синуса для любого угла, кратного $\pi$, равно нулю. То есть, $\sin(k\pi) = 0$ для любого целого $k$. В нашем случае $k=100$.

Следовательно, $E(t=3,14 \text{ с}) \approx 4 \sin(100\pi) = 4 \cdot 0 = 0 \text{ В}$.

Физический смысл этого результата в том, что в моменты времени, когда магнитный поток максимален (как при $t=0$) или минимален, скорость его изменения равна нулю, а значит, и индуцируемая ЭДС равна нулю. За время $t = \pi$ с рамка совершит 50 полных оборотов и вернется в исходное положение максимального потока.

Ответ: $E = 0$ В.